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邏輯結果
Logical Consequence

摘要

直覺上,我們會同意「張三會在下午 4 點抵達台北」這個語句可以從「若張三搭的火車在下午 1:30 從高雄出發到台北,則張三會在下午 4 點抵達台北;張三搭上了下午 1:30 從高雄出發到台北的火車」這個語句集合推導出來。用邏輯的術語來說,我們可以說,「張三會在下午 4 點抵達台北」這個語句是「若張三搭的火車在下午 1:30 從高雄出發到台北,則張三會在下午 4 點抵達台北;張三搭上了下午 1:30 從高雄出發到台北的火車」這個語句集合的邏輯結果;或換個方式說,我們可以從「若張三搭的火車在下午 1:30 從高雄出發到台北,則張三會在下午4點抵達台北;張三搭上了下午 1:30 從高雄出發到台北的火車」這個語句集合邏輯上推導出「張三會在下午 4 點抵達台北」;其中,前者被稱為前提,而後者被稱為結論。不過,我們該如何解釋這個直覺呢?許多哲學家與邏輯學家提出各自的看法,企圖解釋該直覺。本文將針對此問題做概述,並著重在一個相關的議題上,亦即邏輯一元論與邏輯多元論之間的爭議,試圖為邏輯一元論辯護。如同史丹佛哲學百科中,「Logical consequence」詞條的兩位作者 (G. Restall 與 Jc Beall) 所述,涉及邏輯結果的議題五花八門,不可能在一篇文章中詳盡說明,故請有興趣的讀者尋找其他相關的文章做進一步的閱讀。

 

上線日期 :2020 年 05 月 14 日

引用資訊:蘇慶輝 (2020)。〈邏輯結果〉,王一奇(編),《華文哲學百科》(2020 版本)。URL=http://mephilosophy.ccu.edu.tw/entry.php?entry_name=邏輯結果。

 

 

目錄

1. 導論

2. 各式各樣的論證

3. 證明論與模型論

4. 邏輯多元論

5. 結論

 

 

內文

1. 導論

考慮下列的推論(或論證):

  1. 若張三搭的火車在下午 1:30 從高雄出發到台北,則張三會在下午4點抵達台北;
  2. 張三搭上了下午 1:30 從高雄出發到台北的火車;
  3. 張三會在下午 4 點抵達台北。

在適當理解 (1)-(3) 之下,我們會同意 (3) 可以從 (1) 與 (2) 推導出。不過,有人可能會想知道為什麼;亦即,上述推論具有什麼特徵,使得我們有上述的直覺。

  用邏輯的術語來說((1) 與 (2) 會被稱為「前提」,而 (3) 被稱為「結論」),我們說,結論 (3) 在邏輯上從前提 (1) 與 (2) 推導出((3) follows logically from (1) and (2));或是說,(3) 是 (1) 與 (2) 的邏輯結果((3) is a logical consequence of (1) and (2))。在文獻中,有兩個常見的解釋,分別訴諸證明 (proof) 與模型 (model) 的概念:(a) 因為我們可以從 (1) 與 (2) 建構一個證明到 (3);(b) 因為,對任意模型 M,若 M 使得前提為真,M 也會使得結論為真。根據 (a) 或 (b),我們可以分別定義有效性 (validity):一個論證是有效的,若且惟若,存在一個從前提到結論的證明/對每個指派前提為真的模型來說,結論也會在其中被指派為真。據此,在某個意義下,我們可以解釋上述的直覺。

  在 2000 年的文章中,Beall 與 Restall 論證邏輯多元論,主張我們可以有各式各樣的(多於一個)邏輯結果概念,有別於傳統一元論的看法。本文試圖指出,我們必須適當的理解邏輯一元論與多元論的爭議,否則該爭議會變得瑣碎。另外,本文將為某種版本的邏輯一元論辯護。

  以下將分為四個部分:在第二節中,本文將論證:傳統區分中的幾類論證,其實只是對論證的幾種不同評價標準而已;在第三節中,本文會簡單介紹證明論與模型論,以及兩者之間的關係;在第四節中,本文會引進邏輯一元論與多元論的爭議,並指出我們應該適當理解該爭議,否則該爭議會變得瑣碎;在結論中,本文將為邏輯一元論辯護,因為儘管我們有各式各樣的邏輯結果概念,但是在判斷一個論證的有效性時,邏輯一元論才是我們應該接受的立場。

 

 

2. 各式各樣的論證

傳統上,從 (1) 與 (2) 到 (3) 的論證會被視為一個演繹 (deductive) 論證,有別於下列的論證:

  1. 我隨意地從一堆橘子中挑出的四顆橘子都是好的;
  2. 那堆橘子中,大多數是好的。

雖然 (5) 可以從 (4) 推導出來,但是這個論證會被視為一個歸納 (inductive) 論證,因為在 (4) 為真的情況下,(5) 仍可能為假。在標準的邏輯教科書中,一般會區分兩類論證:演繹論證與歸納論證。有效演繹論證是指,在前提為真的情況下,結論必定為真;而歸納論證是指,在前提為真的情況下,結論仍可能 (probably) 為假。

  據此,有效性的概念被引進來刻劃演繹論證的特徵:一個論證是有效的,若且惟若,不可能前提真但結論假。可靠性 (cogency) 被引進來刻劃歸納論證的特徵:一個論證是可靠的 (cogent),若且惟若,給定前提為真,其結論很可能為真,其中「很可能為真」這個概念通常是透過概率 (probability) 來定義的──結論為真的概率很高。[1]

  讓我們考慮另一個論證:

  1. 水是無色無味的;
  2. H2是無色無味的。

根據現代科學的研究,水是由兩個氫原子與一個氧原子構成的分子化合物,亦即 H2O。所以,從 (7) 到 (8) 的推論也滿足有效性的定義,儘管我們還需要一個形上學的假設:必然地,水是 H2O。

  不過,值得注意的是,不同於前兩個論證,從 (7) 到 (8) 的推論不是一個僅僅因為形式而有效的論證。許多學者認為,邏輯具有形式的特徵,亦即一個論證的好壞僅依賴在其論證的形式 (argument form)。[2]此外,這也展現出邏輯的中立性 (neutrality),亦即邏輯不應該有針對性——一個論證的好壞不依賴在某個特定領域的假設。於是我們可以分別給予演繹論證與歸納論證一個更進一步的定義:

(D) 從語句集合 到 的論證是有效的,若且惟若,僅憑其論證形式,不可能 真但 假;[3]

(I) 從語句集合 到 的論證是可靠的,若且惟若,p(f)/p(G) > .5[4]

於是 (D) 與 (I) 可以僅憑論證的形式,來判斷其有效性或可靠性。這也符合我們的直覺,亦即當考慮到某些論證形式,無論論證是關於什麼主題,其有效性/有說服力是確定的。例如,從「若 則 j」與「f」推論到「j」的論證形式是一個有效的形式,無論 與 是關於什麼。

  目前為止,乍看之下,我們似乎有各式各樣不同種類的推論形式,因而衍生出不同的「邏輯」或形式系統來刻劃其特徵。不過,我們可以將這些形式系統看作是在掌握「好」論證的形式研究。簡單的說,在日常推論中,我們構造出各式各樣的論證,其中有些被認為是好的,但有些被認為是不好的;邏輯學家的任務在於掌握那些好論證背後的共通之處何在,並在形式系統中刻劃其特徵,如同 (D) 與 (I) 所呈現的——透過有效性與可靠性來刻劃論證形式的好壞。換句話說,給定一個論證,無論被歸屬為什麼類型的論證,我們關心的是,若它在某語境中是一個好論證,我們是基於什麼理由來判斷的。[5]這樣的看待方式,決定了(某種版本的)邏輯一元論會是一個較佳的立場,而這將會在第四節中論證。

  儘管如此,有些學者仍會批評上述的立場,因為這將會消弭各種論證之間的差異,例如,演繹論證與歸納論證之間的明顯差異。本文的回應如下:這是一個本末倒置的批評。基本上,各種邏輯上的研究(對論證形式的研究)應該是晚於人們構造論證的。也就是說,在各種邏輯理論(或論證理論)被提出來之前,人們就會構造論證,並掌握了某些特徵。(D) 與 (I) 是其中兩個被提出來的選項,來回答「為什麼有些論證是好的,而有些論證是不好的?」。因此,本文主張,上述立場不僅是合理的,也是正確的。

  上述立場的一個理論結果是:給定實際語境中的論證,我們可以有各種不同的評價系統來決定其好壞。所以,一個論證的好壞,是相對於語境與評價標準的。

 

 

3. 證明論與模型論

在上一節中,我們引進了「有效性」與「可靠性」兩個評價標準,但是卻未提供仔細的說明:在什麼意義下,我們說一個語句是某些(或某個)語句的邏輯結果。[6]本節將透過證明論與模型論來補充說明。

  如先前所言,邏輯關心的是論證形式,所以我們將引進一個形式語言 L 來說明。L 包含下列的符號:

  1. 大寫英文字母:A, B, C, …
  2. 真值函數符號:Ø, Ù, Ú, ®, «
  3. 輔助符號:(, )

大寫字母旨在表徵自然語言中的語句,而真值函數符號意在表徵自然語言中的連接詞(依序表徵「不」、「且」、「或」、「若…則…」與「…若且惟若…」),[7]而輔助符號是用來去除歧義。形式語言L的語法規則如下:

  1. 所有個別的大寫字母是一個完構式 (well-formed formula);
  2. 若 與 是完構式,則下列式子也是完構式:Øf, (f Ù j), (f Ú j), (f ® j), (f « j)
  3. 除此之外,沒有其他規則可以構造出完構式。

以下讓我們引進「├」來說明邏輯結果:

(P) 是語句集合 的一個邏輯結果,在 G的意義下,若且惟若,存在一個從 到 的證明。

在此,「證明」意指:一序列的完構式,其中每一個式子本身要麼是公理(或定理)或前提,或是從運用推論規則到公理(或定理)或前提而來的。讓我們用幾個證明系統來說明。

  公理化系統包含下列三條公理架構,以及兩條推論規則:[8]

(A1) f®(j®f)

(A2) (f®(j®c))®((f®j)®(f®c))

(A3) (Øf ® Øj) ® (j ® f)

(R1)若 f Î G,則 Gf

(R2) {f, f®j} j

以下讓我們用一個例子來說明 (P):{A ® B, B ® C}├ A ® C

    1. A ® B               前提
    2. B ® C               前提
    3. (B ® C)®(A ® (B ® C))       根據 (A1)
    4. A ® (B ® C)            根據 2, 3 (R2)
    5. (A ® (B ® C)) ® ((A ® B) ® (A ® C)) 根據 (A2)
    6. (A ® B) ® (A ® C)          根據 4, 5 (R2)
    7. A ® C               根據 1, 6 (R2)

我們可以發現,上述的推論構成一個證明,因為每一個式子本身要麼是公理(3 與 5)或前提(1 與 2),或是運用規則到公理(或定理)或前提推論而來的(4、6 與 7)。因此,根據 (P),A ®是 {A ® B, B ® C} 的邏輯結果。

  以下讓我們考慮另一個證明系統:自然演繹法。[9]

(N1) Modus Ponens (MP):從 {f, (f®y)} 推論出 y

(N2) Modus Tollens (MT):從 {(f®y), Øy推論出 Øf

(N3) Disjunctive Syllogism (DS):從 {(fÚy), Øf推論出 與從 {(fÚy), Øy推論出 f

(N4) Simplification (Simp):從 {(fÙy)} 推論出 與從 {(fÙy)} 推論出 y

(N5) Conjunction (Conj):從 {f, y推論出 (fÙy)

(N6) Hypothetical Syllogism (HS):從 {(f®y), (y®h)} 推論出 (f®h)

(N7) Addition (Add):從 {f推論出 (fÚy與從 {y推論出 (fÚy)

(N8) Contradictory Premises (ContraPrm):從 {f, Øf推論出 y

(N9) Cut Rule (Cut):從 {(fÚy), (ØfÚh)} 推論出 (yÚh)

(N10) Law of Clavius (Clav):從 {(Øf®f)} 推論出 f

(N11) Constructive Dilemma (CD):從 {(fÚy), (f®d), (y®g)} 推論出 (dÚg)

(N12) Double Negation (DN)跟 ØØ可互推;[10]

(N13) De Morgan’s Theorem (DeM)Ø(fÙy跟 (ØfÚØy可互推,或 Ø(fÚy跟 (ØfÙØy可互推;

(N14) Commutation (Comm):(fÚy跟 (yÚf可互推,或 (fÙy跟 (yÙf可互推;(N15) Association (Assoc):((fÚy)Úc跟 (fÚ(yÚc)) 可互推,或 ((fÙy)Ùc跟 (fÙ(yÙc)) 可互推;

(N16) Distribution (Dist):((fÙ(yÚc)) 跟 ((fÙy)Ú(fÙc)) 可互推,或 ((fÚ(yÙc)) 跟 ((fÚy)Ù(fÚc)) 可互推;

(N17) Contraposition (ContraPos):(f®y跟 (Øy®Øf可互推;

(N18) Conditional-Disjunction (CDis):(f®y跟 (ØfÚy可互推;

(N19) Negation of Conditional (NC)Ø(f®y跟 (fÙØy可互推

(N20) Tautology Laws (Taut)跟 (fÙf可互推,或 跟 (fÚf可互推;

(N21) Equivalence (Equiv):(f«y跟 ((f®y)Ù(y®f)) 可互推,或 (f«y跟 ((fÙy)Ú(ØfÙØy)) 可互推;

(N22) Rule C(條件證法):若要推導的結論是 (f®j的形式,我們可以先假設 f,然後試圖運用其他規則來推導出 j,最後運用 Rule C 推導出 (f®j),並刪除先前的假設 f

以下讓我們用例子來說明 (P):{(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))}├(P®ØQ)®R

  1. P Ú R      前提  
  2. P ® (R Ù Q)   前提
  3. R ® (P Ù Q)   前提
  4. P ® ØQ     前提(條件證法)
  5. (R Ù Q) Ú (P Ù Q) 根據 CD (1), (2), (3)
  6. (Q Ù R) Ú (P Ù Q) 根據 Comm (5)
  7. (Q Ù R) Ú (Q Ù P) 根據 Comm (6)
  8. Q Ù (R Ú P)    根據 Dist (7)
  9. Q        根據 Simp (8)
  10. ØØQ      根據 DN (9)
  11. ØP       根據 MT (4), (10)
  12. R        根據 DS (1), (11)
  13. (P ® ØQ) ® R  根據 Rule C (4), (12)

不難發現,上述推論的每一個式子本身要麼是前提 (1-3),或是運用規則到前提而來的 (4-12)。因此,根據 (P),(P ® ØQ) ®是 {P Ú R, P ® (R Ù Q), R ® (P Ù Q)} 的邏輯結果。

  事實上,除了上述兩個證明系統,還有其他的證明系統,在此不再贅述。[11]重要的是,我們可以訴諸 (P) 來說明邏輯結果的關係。另外,訴諸證明來說明邏輯結果的一個特徵是:我們不需要知道式子的真假,僅憑運用規則即可判斷邏輯結果關係是否成立。[12]不過,這樣的說法似乎跟先前的有效性概念不同;試考慮 (D),其中訴諸真假概念來定義有效性,而有效性則關係到邏輯結果,所以我們似乎可以透過真假概念來說明邏輯結果。如下:(引進「╞」)

(M) 是語句集合 的一個邏輯結果,在 G的意義下,若且惟若,對於所有模型 M,若 V(b) = T, 對所有 b Î G,則 V(f) = T

由於模型論涉及真假,所以我們先介紹一個式子的真假值該如何被決定。一個模型是一個二位有序序對 (ordered pair) <VI, I>,其中解釋 I 會給每個個別大寫字母(原子式)一個真或假的值,而 V是賦值函數 (valuation function),滿足下列的條件:

  1. VI(y) = I(y),若 是原子式(亦即不包含函數符號的式子);[13]
  2. VI(Øy) = T,若 VI(y) = FVI(Øy) = F,若VI(y) = T
  3. VI(yÚc) = F,若 VI(y) = VI(c) = FVI(yÚc) = T,在其他情況下;
  4. VI(yÙc) = T若 VI(y) = VI(c) = TVI(yÙc) = F,在其他情況下;
  5. VI(y®c) = F,若 VI(y) = 與 VI(c) = FVI(y®c) = T,在其他情況下;
  6. VI(y«c) = T,若 VI(y) = VI(c)VI(y«c) = F,在其他情況下。

讓我們用一個例子來說明一個式子的真假值該如何決定;假設 VI(P) = VI(Q) = TVI(R) = F

VI(P Ú (Q Ù ØR)) = (TÚ(TÙØF))

         = (TÚ(TÙT))

         = (TÚT)

         = T

據此,我們可以決定每一個完構式的真假值。現在,讓我們回到 (M),並使用上述方法來檢視先前的例子:{(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))}╞((P®ØQ)®R)

  如 (M) 所述,若 {(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))} 與((P®ØQ)®R) 之間的邏輯結果是成立的,我們找不到一個模型會使得 {(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))} 真,但是卻使得 ((P®ØQ)®R) 為假。運用規謬證法,讓我們假設 {(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))} 與 ((P®ØQ)®R) 之間的邏輯結果關係不成立,亦即,存在一個模型 M’,使得 {(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))} 真,但 ((P®ØQ)®R) 為假。

M’= <VI, I>

VI(P Ú R) = VI(P ® (R Ù Q)) = VI(R ® (P Ù Q)) = T 且 VI((P ® ØQ) ® R) = F

根據先前賦值函數 V要滿足的條件,我們可以推論出 VI(P ® ØQ) = T 且 VI(R) = F;但 VI(P Ú R) = T,故 VI(P) = T;但若 VI(P) = T 且 VI(R) = F,則 VI(P ® (R Ù Q)) = F,此結果跟一開始的假設矛盾。因此,不存在一個模型 M,使得 {P Ú R, P ® (R Ù Q), R ® (P Ù Q)} 真,但 (P ® ØQ) ®為假(換句話說,前提真但結論假)。所以,{P Ú R, P ® (R Ù Q), R ® (P Ù Q)} 與 (P ® ØQ) ®之間的邏輯結果關係成立。

據此,訴諸真假的概念,我們可以決定邏輯結果的關係是否成立。有學者可能注意到,一個重要且有趣的問題是:證明論的結果是否會跟模型論的結果一致?

  對邏輯學家來說,一個證明系統最好只證明出邏輯上必然為真的命題(健全性 (soundness)),而且所有邏輯上必然為真的命題都可以有一個證明(完備性 (completeness))。不過,限於篇幅,請有興趣的讀者參考其他相關的文獻。

 

 

4. 邏輯多元論

簡單的說,邏輯多元論主張存在不只一個正確的邏輯,不過,在陳述邏輯多元論者的論證之前,讓我們先理解「存在不只一個邏輯(系統)/邏輯結果」是什麼意思。

  根據先前介紹的語言 L,以及先前提及的賦值函數對真值函數符號的解釋,我們會把如此解釋下的邏輯系統視為「古典邏輯」(或經典邏輯、標準邏輯)。不過,若我們將邏輯系統視為一個針對自然語言所做的表徵系統,很自然的,有人會主張古典邏輯沒有如實地表徵日常語言,而一個最好的例子是條件句;日常語言中的條件句似乎不是一個真值函數,因為我們不會因為前件為假(或後件為真)而直接判斷該條件句為真。因此,我們需要其他的非古典邏輯系統來表徵自然語言。相應的,不同的邏輯結果關係會被定義出來。為了更好的理解這件事,我們必須先從理解論證形式的有效性開始。

  如先前所述,邏輯致力於研究論證形式,試圖找出好的論證形式,而有效性被當作是掌握論證好壞的一個特徵。所以,我們可以這麼說,一個論證是好的,若且惟若,該論證呈現的形式是有效的,亦即,僅憑其論證形式,不可能前提真但結論假。不過,我們該如何決定其論證形式呢?一個明顯的答案是:根據其包含的連接詞。基本上,先前引進的真值函數符號也被稱為邏輯連接詞或邏輯常元 (logical constants),而論證的有效性就依賴在我們對它們的解釋上。

  舉例來說,按古典邏輯的解釋,條件句會被視為一個真值函數(實質蘊含),則下列的論證形式會是有效的:

f ® j  (前提一)
f    (前提二)

所以,j(結論)

因為對任意一個模型來說,當 V(f ® j) = V(f) = T,V(j) = T;換句話說,上述的邏輯結果關係是成立的。但是,若我們給予條件句一個不同的解釋(非真值函數的解釋),上述的論證形式可能會變得無效;換句話說,上述的邏輯結果關係是不成立的。因此,邏輯結果關係的成立與否,依賴在我們對邏輯常元的挑選與解釋上。

  不過,一個自然的困惑是:為什麼 ® 被挑選為一個邏輯常元呢?根據 Tarski,為了判斷論證形式,我們必須先區分邏輯常元與非邏輯常元 (Tarski, 1986)。先前論及模型論時提到,我們可以對式子做不同的解釋,亦即給予不同的真假值,同樣的,我們應該也可以給予函數符號一個不同的解釋,亦即給予不同的函數。Tarski 認為我們不可以給予函數符號不同的解釋,因為這麼做會使得一個有效的論證形式變得無效。邏輯常元是那些在變更解釋中不變的 (invariant under permutations)。舉例來說,無論我們給予 或 任意的解釋(真假值),該論證形式仍是有效的,但是,若我們給予 ® 不同的解釋,該論證形式就可能是無效的。因此,®(以及其他四個真值函數符號)被視為邏輯常元。

  以下讓我們定義一個邏輯系統為 <L, Þ>,其中 L 就包含先前提及的元素(非空的符號集合、函數符號集合,以及語法規則),Þ 則是定義在 L 上的邏輯結果關係(介於語句集合與語句之間)。很明顯的,當某個語言 L’,其中包含不同於 L 的符號,一個新的邏輯系統就此產生 <L’, Þ>

  另一方面,當我們將非古典邏輯也考慮進來,例如,三值邏輯,我們的模型必須擴充為一個三位的有序序對 <VI, I, S>,其中 S 代表一個集合 {T, F, N},而 V與 I 跟之前一樣,只不過 V與 I 可能會給予式子三個值,亦即 T、F 或 N(非真非假)。這麼做,也會產生新的邏輯系統,因為原本有效的論證形式可能變得無效,換句話說,邏輯結果關係產生了改變。舉例來說,(fÚØf不再是一個有效式(恆真句)。此外,如先前所言,我們也可以對語言中的邏輯連接詞做不同的解釋,例如 ®,而如此作也會產生新的邏輯系統。因此,存在不只一個邏輯系統 (Bonnay and Westerståhl, 2012; Cook, 2010; Varzi, 2002)。讓我們用另一個方式(透過模型的說法)來表達「存在不只一個邏輯系統」,讓我們回到先前提及的 (M):[14]

是語句集合 的一個邏輯結果,在 G的意義下,若且惟若,對於所有模型 M,若 V(b) = T, 對所有 b Î G,則 V(f) = T

根據多元論的立場,我們有不只一種方式來解釋模型,例如,集合論的方式或可能世界的方式。重點是,不同的解釋方式會衍生出不同的邏輯系統,所以存在不只一個邏輯系統。他們說:

…存在不同、同樣好的方式來說明 (V);存在不同、同樣好的邏輯。這是邏輯多元論的核心 (2000, p. 478)。[15]

現在,本文相信我們會同意存在不只一個邏輯系統,但是這不代表存在不只一個正確的邏輯。一個需要釐清的問題是:邏輯多元論與邏輯一元論的爭論究竟在哪?兩者的爭論是在:是否只存在一個邏輯嗎?明顯不是,因為邏輯一元論者可以同意不只存在一個邏輯,但是堅持只存在一個正確的邏輯。

  本文主張,兩者的爭論應該是:是否只存在一個正確的邏輯?邏輯一元論主張只存在一個正確的邏輯,而邏輯多元論主張不只存在一個正確的邏輯。但是,如上所述,Beall 與 Restall 似乎沒有論證該主張。也許有人會反駁說,「存在不同、同樣好的邏輯」就是意指存在不同、同樣正確的邏輯。本文對此存疑,因為「好壞」是相對於目的的:能夠達成目的的,就是好的,但不代表是真的(或正確的)。雖然 Beall 與 Restall 在文中列舉了許多例子,試圖論證存在許多不同的好邏輯,但是這仍無法證明這些邏輯都是真的(正確的)。因為若這些邏輯都是真的,則代表這些邏輯背後的假設確實以某種方式描述了實在界,但是有些邏輯的假設是彼此矛盾的,難道我們的實在界是矛盾的?無論如何,有興趣的讀者可以繼續深入研究。

 

 

5. 結論

基本上,本文認為 Beall 與 Restall 的立場比較像是邏輯一元論中的相對論或語境論,其主張如下:[16]

(LR) 對邏輯結果的正確說明是相對於某些事實的。

(LC) 對邏輯結果的正確說明是相對於一個給定的語境的。

如先前提及,邏輯系統旨在掌握,在日常意義下,好論證的特徵,而許多邏輯系統提出各自的見解。所以,我們可以將這些不同的邏輯系統,視為在不同語境中掌握到的特徵。就像 Beall 與 Restall 在文中提及的各種邏輯系統一樣,它們都能夠很好地處理相關的論證,但是它們絕不是位在同一個視角上來判斷一個論證的好壞。

  另外,若兩個邏輯系統在爭論某個論證是否有效,而且此爭論不是語詞上的(亦即,此爭論是實質上的、關於世界的),則兩者當中一定只會有一個是正確的,除非我們的世界是充滿矛盾的。但是,這不影響兩者都是好的,因為我們可能基於某個目的,而挑選其中一個邏輯系統(因為該系統能夠很好地實現目的),但當基於另一個目的時,我們會挑選另一個邏輯系統。因此,本文主張,我們應該接受某種版本的邏輯一元論。

 

 


[1] 這樣的定義方式是以條件概率呈現的:p(結論)/p(前提) > .5(請見之後的(I))。不過,值得注意的是,這樣的定義也被用來評斷「假設」與「證據/觀察現象」之間的證實(confirmation)關係,常透過「最佳解釋推理」(Inference to the Best Explanation)的形式出現。例如,從(A)「班上大多數同學都拿到90分以上」推論到(B)「老師一定很給分很鬆」--(B)可以被視為一個對(A)的解釋,而且不是唯一的解釋(譬如,「大多數同學都很聰明且用功」也可以解釋(A))。

[2] MacFarlane, 2015.

[3] Beall, 2010: 5.

[4] ...its premises make its conclusion more likely or more reasonable...」(Beall and Restall, 2019)。

[5] 在此,可能有兩個批評:(1)涉及「語境」,就不會只是「僅憑形式來判斷其好壞」;(2)邏輯關心的應該是一般性的論證形式,不應該涉及實際的語境。回應如下:針對(1),基於許多學者對語境的研究成果,我們可以在形式上刻劃「語境」如何影響一個論證的好壞;針對(2),我們認為邏輯要掌握的日常生活中的論證,亦即在實際語境中被提出來的論證,所以考慮「語境中的論證」是合理的,另外,這也不影響我們對論證進行形式的研究(研究抽離語境後的論證形式)。

[6] 以下將使用「邏輯結果」的說法,而不再使用「一個論證是有效的/可靠的」這樣的說法,因為「有效性」與「可靠性」是語句之間的關係,用來掌握好論證的特徵,而「邏輯結果」的說法較為中立。

[7] 三個有趣的問題是:「為什麼挑五個?能夠挑少一點嗎?」、「如何決定出這五個?」與「為什麼只挑這五個?」。針對第一個問題,事實上,我們確實可以只挑其中的幾個,例如Frege原始的邏輯系統只包含「Ø」與「®」,因為其他的真值函數連接詞可以透過「Ø」與「®」來定義;我們稱那兩個真值函數為函數上完整。針對第二個問題,根據Tarski,若我們對這幾個連接詞做不同的解釋,可能會影響論證的有效性(Tarski, 1986;第四節會有進一步的討論);針對第三個問題,基於自然語言還包含許多連接詞,例如「可能」,我們確實可以不只挑選這五個;但是,「可能」不會是一個真值函數,所以我們需要擴充原始的邏輯系統,使得我們可以處理非真值函數的真假值判定。

[8] Hamilton, 1978

[9] Causey, 2006。為了說明方便,在此做了些許的修改。另外,相較於公理化系統,自然演繹法明顯允許更多的推論規則,而且不同的自然演繹法系統,可能也允許不同數量的規則,所以有學者可能會問「為什麼?」。必須承認的是,規則的挑選是有一定的任意性,因為我們可以證明我們只需少數規則,甚至只需要一個規則,即MP,就可以提供所有真命題一個證明。揀選出某些(或某個)規則僅僅是因為方便。也許有人會認為挑選MP是因為它最符合直覺,但遺憾的是,MP也曾被認為是無效的推論規則(Bledin, 2015; van McGee, 1985; Kolondy and MacFarlane, 2010)。有興趣的學者可參考相關的文獻。

[10] (N12)-(N21)中的「可互推」意指「f(q)是包含q的式子,若qr是可互推的,這代表我們可以推論出f(q/r),其中q的每次出現都被r所取代」(Causey, 2006: 69)。

[11] 除了本文介紹的兩個證明系統,還有兩個常見的證明系統:Gentzen的序列演算(sequent calculi)(https://plato.stanford.edu/entries/proof-theory/#GentConsProo)與樹枝法(Tree Method)(Restall, 2005)。不過,「證明」的意義可能會有點差異。

[12] 本文引進的是一個命題邏輯系統,具有「可決定性」(decidability),意指:給定任一個論證,我們可以在有限的推論步驟中,決定該論證是否有一個證明。但是在初階邏輯(first-order logic)中,量化詞的引進使得我們無法判斷何時該停止規則,因為不存在證明,所以缺少「可決定性」。

[13] 因為我們可以對式子有不只一種解釋,所以賦值函數V是相對於I的,故符號上標記為VI

[14] BeallRestall的說法是「cases」(2000, p. 476)。

[15] 其中的(V)大致意指本文中的(M)

[16] 相較之下,邏輯多元論的立場是:對邏輯結果的正確說明不只一個(Su, 2017

 

 

作者資訊

蘇慶輝
pcs0929@gmail.com
山東大學哲學系

 

上線日期 :2020 年 05 月 14 日

引用資訊:蘇慶輝 (2020)。〈邏輯結果〉,王一奇(編),《華文哲學百科》(2020 版本)。URL=http://mephilosophy.ccu.edu.tw/entry.php?entry_name=邏輯結果。

 

 

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