考慮下列的推論（或論證）：
在適當理解 (1)-(3) 之下，我們會同意 (3) 可以從 (1) 與 (2) 推導出。不過，有人可能會想知道為什麼；亦即，上述推論具有什麼特徵，使得我們有上述的直覺。
用邏輯的術語來說（(1) 與 (2) 會被稱為「前提」，而 (3) 被稱為「結論」），我們說，結論 (3) 在邏輯上從前提 (1) 與 (2) 推導出（(3) follows logically from (1) and (2)）；或是說，(3) 是 (1) 與 (2) 的邏輯結果（(3) is a logical consequence of (1) and (2)）。在文獻中，有兩個常見的解釋，分別訴諸證明 (proof) 與模型 (model) 的概念：(a) 因為我們可以從 (1) 與 (2) 建構一個證明到 (3)；(b) 因為，對任意模型 M，若 M 使得前提為真，M 也會使得結論為真。根據 (a) 或 (b)，我們可以分別定義有效性 (validity)：一個論證是有效的，若且惟若，存在一個從前提到結論的證明／對每個指派前提為真的模型來說，結論也會在其中被指派為真。據此，在某個意義下，我們可以解釋上述的直覺。
在 2000 年的文章中，Beall 與 Restall 論證邏輯多元論，主張我們可以有各式各樣的（多於一個）邏輯結果概念，有別於傳統一元論的看法。本文試圖指出，我們必須適當的理解邏輯一元論與多元論的爭議，否則該爭議會變得瑣碎。另外，本文將為某種版本的邏輯一元論辯護。
以下將分為四個部分：在第二節中，本文將論證：傳統區分中的幾類論證，其實只是對論證的幾種不同評價標準而已；在第三節中，本文會簡單介紹證明論與模型論，以及兩者之間的關係；在第四節中，本文會引進邏輯一元論與多元論的爭議，並指出我們應該適當理解該爭議，否則該爭議會變得瑣碎；在結論中，本文將為邏輯一元論辯護，因為儘管我們有各式各樣的邏輯結果概念，但是在判斷一個論證的有效性時，邏輯一元論才是我們應該接受的立場。
傳統上，從 (1) 與 (2) 到 (3) 的論證會被視為一個演繹 (deductive) 論證，有別於下列的論證：
雖然 (5) 可以從 (4) 推導出來，但是這個論證會被視為一個歸納 (inductive) 論證，因為在 (4) 為真的情況下，(5) 仍可能為假。在標準的邏輯教科書中，一般會區分兩類論證：演繹論證與歸納論證。有效演繹論證是指，在前提為真的情況下，結論必定為真；而歸納論證是指，在前提為真的情況下，結論仍可能 (probably) 為假。
據此，有效性的概念被引進來刻劃演繹論證的特徵：一個論證是有效的，若且惟若，不可能前提真但結論假。可靠性 (cogency) 被引進來刻劃歸納論證的特徵：一個論證是可靠的 (cogent)，若且惟若，給定前提為真，其結論很可能為真，其中「很可能為真」這個概念通常是透過概率 (probability) 來定義的──結論為真的概率很高。[1]
讓我們考慮另一個論證：
根據現代科學的研究，水是由兩個氫原子與一個氧原子構成的分子化合物，亦即 H2O。所以，從 (7) 到 (8) 的推論也滿足有效性的定義，儘管我們還需要一個形上學的假設：必然地，水是 H2O。
不過，值得注意的是，不同於前兩個論證，從 (7) 到 (8) 的推論不是一個僅僅因為形式而有效的論證。許多學者認為，邏輯具有形式的特徵，亦即一個論證的好壞僅依賴在其論證的形式 (argument form)。[2]此外，這也展現出邏輯的中立性 (neutrality)，亦即邏輯不應該有針對性——一個論證的好壞不依賴在某個特定領域的假設。於是我們可以分別給予演繹論證與歸納論證一個更進一步的定義：
(D) 從語句集合 G 到 f 的論證是有效的，若且惟若，僅憑其論證形式，不可能 G 真但 f 假；[3]
(I) 從語句集合 G 到 f 的論證是可靠的，若且惟若，p(f)/p(G) > .5。[4]
於是 (D) 與 (I) 可以僅憑論證的形式，來判斷其有效性或可靠性。這也符合我們的直覺，亦即當考慮到某些論證形式，無論論證是關於什麼主題，其有效性／有說服力是確定的。例如，從「若 f 則 j」與「f」推論到「j」的論證形式是一個有效的形式，無論 f 與 j 是關於什麼。
目前為止，乍看之下，我們似乎有各式各樣不同種類的推論形式，因而衍生出不同的「邏輯」或形式系統來刻劃其特徵。不過，我們可以將這些形式系統看作是在掌握「好」論證的形式研究。簡單的說，在日常推論中，我們構造出各式各樣的論證，其中有些被認為是好的，但有些被認為是不好的；邏輯學家的任務在於掌握那些好論證背後的共通之處何在，並在形式系統中刻劃其特徵，如同 (D) 與 (I) 所呈現的——透過有效性與可靠性來刻劃論證形式的好壞。換句話說，給定一個論證，無論被歸屬為什麼類型的論證，我們關心的是，若它在某語境中是一個好論證，我們是基於什麼理由來判斷的。[5]這樣的看待方式，決定了（某種版本的）邏輯一元論會是一個較佳的立場，而這將會在第四節中論證。
儘管如此，有些學者仍會批評上述的立場，因為這將會消弭各種論證之間的差異，例如，演繹論證與歸納論證之間的明顯差異。本文的回應如下：這是一個本末倒置的批評。基本上，各種邏輯上的研究（對論證形式的研究）應該是晚於人們構造論證的。也就是說，在各種邏輯理論（或論證理論）被提出來之前，人們就會構造論證，並掌握了某些特徵。(D) 與 (I) 是其中兩個被提出來的選項，來回答「為什麼有些論證是好的，而有些論證是不好的？」。因此，本文主張，上述立場不僅是合理的，也是正確的。
上述立場的一個理論結果是：給定實際語境中的論證，我們可以有各種不同的評價系統來決定其好壞。所以，一個論證的好壞，是相對於語境與評價標準的。
在上一節中，我們引進了「有效性」與「可靠性」兩個評價標準，但是卻未提供仔細的說明：在什麼意義下，我們說一個語句是某些（或某個）語句的邏輯結果。[6]本節將透過證明論與模型論來補充說明。
如先前所言，邏輯關心的是論證形式，所以我們將引進一個形式語言 L 來說明。L 包含下列的符號：
大寫字母旨在表徵自然語言中的語句，而真值函數符號意在表徵自然語言中的連接詞（依序表徵「不」、「且」、「或」、「若…則…」與「…若且惟若…」），[7]而輔助符號是用來去除歧義。形式語言L的語法規則如下：
以下讓我們引進「├」來說明邏輯結果：
(P) f 是語句集合 G 的一個邏輯結果，在 G├f 的意義下，若且惟若，存在一個從 G 到 f 的證明。
在此，「證明」意指：一序列的完構式，其中每一個式子本身要麼是公理（或定理）或前提，或是從運用推論規則到公理（或定理）或前提而來的。讓我們用幾個證明系統來說明。
公理化系統包含下列三條公理架構，以及兩條推論規則：[8]
(A1) f®(j®f)
(A2) (f®(j®c))®((f®j)®(f®c))
(A3) (Øf ® Øj) ® (j ® f)
(R1)若 f Î G，則 G├ f
(R2) {f, f®j}├ j
以下讓我們用一個例子來說明 (P)：{A ® B, B ® C}├ A ® C
我們可以發現，上述的推論構成一個證明，因為每一個式子本身要麼是公理（3 與 5）或前提（1 與 2），或是運用規則到公理（或定理）或前提推論而來的（4、6 與 7）。因此，根據 (P)，A ® C 是 {A ® B, B ® C} 的邏輯結果。
以下讓我們考慮另一個證明系統：自然演繹法。[9]
(N1) Modus Ponens (MP)：從 {f, (f®y)} 推論出 y；
(N2) Modus Tollens (MT)：從 {(f®y), Øy} 推論出 Øf；
(N3) Disjunctive Syllogism (DS)：從 {(fÚy), Øf} 推論出 y 與從 {(fÚy), Øy} 推論出 f；
(N4) Simplification (Simp)：從 {(fÙy)} 推論出 f 與從 {(fÙy)} 推論出 y；
(N5) Conjunction (Conj)：從 {f, y} 推論出 (fÙy)；
(N6) Hypothetical Syllogism (HS)：從 {(f®y), (y®h)} 推論出 (f®h)；
(N7) Addition (Add)：從 {f} 推論出 (fÚy) 與從 {y} 推論出 (fÚy)；
(N8) Contradictory Premises (ContraPrm)：從 {f, Øf} 推論出 y；
(N9) Cut Rule (Cut)：從 {(fÚy), (ØfÚh)} 推論出 (yÚh)；
(N10) Law of Clavius (Clav)：從 {(Øf®f)} 推論出 f；
(N11) Constructive Dilemma (CD)：從 {(fÚy), (f®d), (y®g)} 推論出 (dÚg)；
(N12) Double Negation (DN)：f 跟 ØØf 可互推；[10]
(N13) De Morgan’s Theorem (DeM)：Ø(fÙy) 跟 (ØfÚØy) 可互推，或 Ø(fÚy) 跟 (ØfÙØy) 可互推；
(N14) Commutation (Comm)：(fÚy) 跟 (yÚf) 可互推，或 (fÙy) 跟 (yÙf) 可互推；(N15) Association (Assoc)：((fÚy)Úc) 跟 (fÚ(yÚc)) 可互推，或 ((fÙy)Ùc) 跟 (fÙ(yÙc)) 可互推；
(N16) Distribution (Dist)：((fÙ(yÚc)) 跟 ((fÙy)Ú(fÙc)) 可互推，或 ((fÚ(yÙc)) 跟 ((fÚy)Ù(fÚc)) 可互推；
(N17) Contraposition (ContraPos)：(f®y) 跟 (Øy®Øf) 可互推；
(N18) Conditional-Disjunction (CDis)：(f®y) 跟 (ØfÚy) 可互推；
(N19) Negation of Conditional (NC)：Ø(f®y) 跟 (fÙØy) 可互推
(N20) Tautology Laws (Taut)：f 跟 (fÙf) 可互推，或 f 跟 (fÚf) 可互推；
(N21) Equivalence (Equiv)：(f«y) 跟 ((f®y)Ù(y®f)) 可互推，或 (f«y) 跟 ((fÙy)Ú(ØfÙØy)) 可互推；
(N22) Rule C（條件證法）：若要推導的結論是 (f®j) 的形式，我們可以先假設 f，然後試圖運用其他規則來推導出 j，最後運用 Rule C 推導出 (f®j)，並刪除先前的假設 f。
以下讓我們用例子來說明 (P)：{(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))}├(P®ØQ)®R
不難發現，上述推論的每一個式子本身要麼是前提 (1-3)，或是運用規則到前提而來的 (4-12)。因此，根據 (P)，(P ® ØQ) ® R 是 {P Ú R, P ® (R Ù Q), R ® (P Ù Q)} 的邏輯結果。
事實上，除了上述兩個證明系統，還有其他的證明系統，在此不再贅述。[11]重要的是，我們可以訴諸 (P) 來說明邏輯結果的關係。另外，訴諸證明來說明邏輯結果的一個特徵是：我們不需要知道式子的真假，僅憑運用規則即可判斷邏輯結果關係是否成立。[12]不過，這樣的說法似乎跟先前的有效性概念不同；試考慮 (D)，其中訴諸真假概念來定義有效性，而有效性則關係到邏輯結果，所以我們似乎可以透過真假概念來說明邏輯結果。如下：（引進「╞」）
(M) f 是語句集合 G 的一個邏輯結果，在 G╞f 的意義下，若且惟若，對於所有模型 M，若 V(b) = T, 對所有 b Î G，則 V(f) = T。
由於模型論涉及真假，所以我們先介紹一個式子的真假值該如何被決定。一個模型是一個二位有序序對 (ordered pair) <VI, I>，其中解釋 I 會給每個個別大寫字母（原子式）一個真或假的值，而 VI 是賦值函數 (valuation function)，滿足下列的條件：
讓我們用一個例子來說明一個式子的真假值該如何決定；假設 VI(P) = VI(Q) = T且VI(R) = F：
VI(P Ú (Q Ù ØR)) = (TÚ(TÙØF))
= (TÚ(TÙT))
= (TÚT)
= T
據此，我們可以決定每一個完構式的真假值。現在，讓我們回到 (M)，並使用上述方法來檢視先前的例子：{(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))}╞((P®ØQ)®R)。
如 (M) 所述，若 {(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))} 與((P®ØQ)®R) 之間的邏輯結果是成立的，我們找不到一個模型會使得 {(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))} 真，但是卻使得 ((P®ØQ)®R) 為假。運用規謬證法，讓我們假設 {(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))} 與 ((P®ØQ)®R) 之間的邏輯結果關係不成立，亦即，存在一個模型 M’，使得 {(PÚR), (P®(RÙQ)), (R®(PÙQ))} 真，但 ((P®ØQ)®R) 為假。
M’= <VI, I>
VI(P Ú R) = VI(P ® (R Ù Q)) = VI(R ® (P Ù Q)) = T 且 VI((P ® ØQ) ® R) = F
根據先前賦值函數 VI 要滿足的條件，我們可以推論出 VI(P ® ØQ) = T 且 VI(R) = F；但 VI(P Ú R) = T，故 VI(P) = T；但若 VI(P) = T 且 VI(R) = F，則 VI(P ® (R Ù Q)) = F，此結果跟一開始的假設矛盾。因此，不存在一個模型 M，使得 {P Ú R, P ® (R Ù Q), R ® (P Ù Q)} 真，但 (P ® ØQ) ® R 為假（換句話說，前提真但結論假）。所以，{P Ú R, P ® (R Ù Q), R ® (P Ù Q)} 與 (P ® ØQ) ® R 之間的邏輯結果關係成立。
據此，訴諸真假的概念，我們可以決定邏輯結果的關係是否成立。有學者可能注意到，一個重要且有趣的問題是：證明論的結果是否會跟模型論的結果一致？
對邏輯學家來說，一個證明系統最好只證明出邏輯上必然為真的命題（健全性 (soundness)），而且所有邏輯上必然為真的命題都可以有一個證明（完備性 (completeness)）。不過，限於篇幅，請有興趣的讀者參考其他相關的文獻。
簡單的說，邏輯多元論主張存在不只一個正確的邏輯，不過，在陳述邏輯多元論者的論證之前，讓我們先理解「存在不只一個邏輯（系統）/邏輯結果」是什麼意思。
根據先前介紹的語言 L，以及先前提及的賦值函數對真值函數符號的解釋，我們會把如此解釋下的邏輯系統視為「古典邏輯」（或經典邏輯、標準邏輯）。不過，若我們將邏輯系統視為一個針對自然語言所做的表徵系統，很自然的，有人會主張古典邏輯沒有如實地表徵日常語言，而一個最好的例子是條件句；日常語言中的條件句似乎不是一個真值函數，因為我們不會因為前件為假（或後件為真）而直接判斷該條件句為真。因此，我們需要其他的非古典邏輯系統來表徵自然語言。相應的，不同的邏輯結果關係會被定義出來。為了更好的理解這件事，我們必須先從理解論證形式的有效性開始。
如先前所述，邏輯致力於研究論證形式，試圖找出好的論證形式，而有效性被當作是掌握論證好壞的一個特徵。所以，我們可以這麼說，一個論證是好的，若且惟若，該論證呈現的形式是有效的，亦即，僅憑其論證形式，不可能前提真但結論假。不過，我們該如何決定其論證形式呢？一個明顯的答案是：根據其包含的連接詞。基本上，先前引進的真值函數符號也被稱為邏輯連接詞或邏輯常元 (logical constants)，而論證的有效性就依賴在我們對它們的解釋上。
舉例來說，按古典邏輯的解釋，條件句會被視為一個真值函數（實質蘊含），則下列的論證形式會是有效的：
f ® j （前提一）
f （前提二）所以，j（結論）
因為對任意一個模型來說，當 V(f ® j) = V(f) = T，V(j) = T；換句話說，上述的邏輯結果關係是成立的。但是，若我們給予條件句一個不同的解釋（非真值函數的解釋），上述的論證形式可能會變得無效；換句話說，上述的邏輯結果關係是不成立的。因此，邏輯結果關係的成立與否，依賴在我們對邏輯常元的挑選與解釋上。
不過，一個自然的困惑是：為什麼 ® 被挑選為一個邏輯常元呢？根據 Tarski，為了判斷論證形式，我們必須先區分邏輯常元與非邏輯常元 (Tarski, 1986)。先前論及模型論時提到，我們可以對式子做不同的解釋，亦即給予不同的真假值，同樣的，我們應該也可以給予函數符號一個不同的解釋，亦即給予不同的函數。Tarski 認為我們不可以給予函數符號不同的解釋，因為這麼做會使得一個有效的論證形式變得無效。邏輯常元是那些在變更解釋中不變的 (invariant under permutations)。舉例來說，無論我們給予 f 或 j 任意的解釋（真假值），該論證形式仍是有效的，但是，若我們給予 ® 不同的解釋，該論證形式就可能是無效的。因此，®（以及其他四個真值函數符號）被視為邏輯常元。
以下讓我們定義一個邏輯系統為 <L, Þ>，其中 L 就包含先前提及的元素（非空的符號集合、函數符號集合，以及語法規則），Þ 則是定義在 L 上的邏輯結果關係（介於語句集合與語句之間）。很明顯的，當某個語言 L’，其中包含不同於 L 的符號，一個新的邏輯系統就此產生 <L’, Þ>。
另一方面，當我們將非古典邏輯也考慮進來，例如，三值邏輯，我們的模型必須擴充為一個三位的有序序對 <VI, I, S>，其中 S 代表一個集合 {T, F, N}，而 VI 與 I 跟之前一樣，只不過 VI 與 I 可能會給予式子三個值，亦即 T、F 或 N（非真非假）。這麼做，也會產生新的邏輯系統，因為原本有效的論證形式可能變得無效，換句話說，邏輯結果關係產生了改變。舉例來說，(fÚØf) 不再是一個有效式（恆真句）。此外，如先前所言，我們也可以對語言中的邏輯連接詞做不同的解釋，例如 ®，而如此作也會產生新的邏輯系統。因此，存在不只一個邏輯系統 (Bonnay and Westerståhl, 2012; Cook, 2010; Varzi, 2002)。讓我們用另一個方式（透過模型的說法）來表達「存在不只一個邏輯系統」，讓我們回到先前提及的 (M)：[14]
f 是語句集合 G 的一個邏輯結果，在 G╞f 的意義下，若且惟若，對於所有模型 M，若 V(b) = T, 對所有 b Î G，則 V(f) = T。
根據多元論的立場，我們有不只一種方式來解釋模型，例如，集合論的方式或可能世界的方式。重點是，不同的解釋方式會衍生出不同的邏輯系統，所以存在不只一個邏輯系統。他們說：
…存在不同、同樣好的方式來說明 (V)；存在不同、同樣好的邏輯。這是邏輯多元論的核心 (2000, p. 478)。[15]
現在，本文相信我們會同意存在不只一個邏輯系統，但是這不代表存在不只一個正確的邏輯。一個需要釐清的問題是：邏輯多元論與邏輯一元論的爭論究竟在哪？兩者的爭論是在：是否只存在一個邏輯嗎？明顯不是，因為邏輯一元論者可以同意不只存在一個邏輯，但是堅持只存在一個正確的邏輯。
本文主張，兩者的爭論應該是：是否只存在一個正確的邏輯？邏輯一元論主張只存在一個正確的邏輯，而邏輯多元論主張不只存在一個正確的邏輯。但是，如上所述，Beall 與 Restall 似乎沒有論證該主張。也許有人會反駁說，「存在不同、同樣好的邏輯」就是意指存在不同、同樣正確的邏輯。本文對此存疑，因為「好壞」是相對於目的的：能夠達成目的的，就是好的，但不代表是真的（或正確的）。雖然 Beall 與 Restall 在文中列舉了許多例子，試圖論證存在許多不同的好邏輯，但是這仍無法證明這些邏輯都是真的（正確的）。因為若這些邏輯都是真的，則代表這些邏輯背後的假設確實以某種方式描述了實在界，但是有些邏輯的假設是彼此矛盾的，難道我們的實在界是矛盾的？無論如何，有興趣的讀者可以繼續深入研究。
基本上，本文認為 Beall 與 Restall 的立場比較像是邏輯一元論中的相對論或語境論，其主張如下：[16]
(LR) 對邏輯結果的正確說明是相對於某些事實的。
(LC) 對邏輯結果的正確說明是相對於一個給定的語境的。
如先前提及，邏輯系統旨在掌握，在日常意義下，好論證的特徵，而許多邏輯系統提出各自的見解。所以，我們可以將這些不同的邏輯系統，視為在不同語境中掌握到的特徵。就像 Beall 與 Restall 在文中提及的各種邏輯系統一樣，它們都能夠很好地處理相關的論證，但是它們絕不是位在同一個視角上來判斷一個論證的好壞。
另外，若兩個邏輯系統在爭論某個論證是否有效，而且此爭論不是語詞上的（亦即，此爭論是實質上的、關於世界的），則兩者當中一定只會有一個是正確的，除非我們的世界是充滿矛盾的。但是，這不影響兩者都是好的，因為我們可能基於某個目的，而挑選其中一個邏輯系統（因為該系統能夠很好地實現目的），但當基於另一個目的時，我們會挑選另一個邏輯系統。因此，本文主張，我們應該接受某種版本的邏輯一元論。
[1] 這樣的定義方式是以條件概率呈現的：p(結論)/p(前提) > .5（請見之後的（I））。不過，值得注意的是，這樣的定義也被用來評斷「假設」與「證據/觀察現象」之間的證實（confirmation）關係，常透過「最佳解釋推理」（Inference to the Best Explanation）的形式出現。例如，從（A）「班上大多數同學都拿到90分以上」推論到（B）「老師一定很給分很鬆」－－（B）可以被視為一個對（A）的解釋，而且不是唯一的解釋（譬如，「大多數同學都很聰明且用功」也可以解釋（A））。
[2] MacFarlane, 2015.
[3] Beall, 2010: 5.
[4] 「...its premises make its conclusion more likely or more reasonable...」（Beall and Restall, 2019）。
[5] 在此，可能有兩個批評：(1)涉及「語境」，就不會只是「僅憑形式來判斷其好壞」；(2)邏輯關心的應該是一般性的論證形式，不應該涉及實際的語境。回應如下：針對(1)，基於許多學者對語境的研究成果，我們可以在形式上刻劃「語境」如何影響一個論證的好壞；針對(2)，我們認為邏輯要掌握的日常生活中的論證，亦即在實際語境中被提出來的論證，所以考慮「語境中的論證」是合理的，另外，這也不影響我們對論證進行形式的研究（研究抽離語境後的論證形式）。
[6] 以下將使用「邏輯結果」的說法，而不再使用「一個論證是有效的/可靠的」這樣的說法，因為「有效性」與「可靠性」是語句之間的關係，用來掌握好論證的特徵，而「邏輯結果」的說法較為中立。
[7] 三個有趣的問題是：「為什麼挑五個？能夠挑少一點嗎？」、「如何決定出這五個？」與「為什麼只挑這五個？」。針對第一個問題，事實上，我們確實可以只挑其中的幾個，例如Frege原始的邏輯系統只包含「Ø」與「®」，因為其他的真值函數連接詞可以透過「Ø」與「®」來定義；我們稱那兩個真值函數為函數上完整。針對第二個問題，根據Tarski，若我們對這幾個連接詞做不同的解釋，可能會影響論證的有效性（Tarski, 1986；第四節會有進一步的討論）；針對第三個問題，基於自然語言還包含許多連接詞，例如「可能」，我們確實可以不只挑選這五個；但是，「可能」不會是一個真值函數，所以我們需要擴充原始的邏輯系統，使得我們可以處理非真值函數的真假值判定。
[8] Hamilton, 1978。
[9] Causey, 2006。為了說明方便，在此做了些許的修改。另外，相較於公理化系統，自然演繹法明顯允許更多的推論規則，而且不同的自然演繹法系統，可能也允許不同數量的規則，所以有學者可能會問「為什麼？」。必須承認的是，規則的挑選是有一定的任意性，因為我們可以證明我們只需少數規則，甚至只需要一個規則，即MP，就可以提供所有真命題一個證明。揀選出某些（或某個）規則僅僅是因為方便。也許有人會認為挑選MP是因為它最符合直覺，但遺憾的是，MP也曾被認為是無效的推論規則（Bledin, 2015; van McGee, 1985; Kolondy and MacFarlane, 2010）。有興趣的學者可參考相關的文獻。
[10] (N12)-(N21)中的「可互推」意指「令f(q)是包含q的式子，若q跟r是可互推的，這代表我們可以推論出f(q/r)，其中q的每次出現都被r所取代」（Causey, 2006: 69）。
[11] 除了本文介紹的兩個證明系統，還有兩個常見的證明系統：Gentzen的序列演算（sequent calculi）（https://plato.stanford.edu/entries/proof-theory/#GentConsProo）與樹枝法（Tree Method）（Restall, 2005）。不過，「證明」的意義可能會有點差異。
[12] 本文引進的是一個命題邏輯系統，具有「可決定性」（decidability），意指：給定任一個論證，我們可以在有限的推論步驟中，決定該論證是否有一個證明。但是在初階邏輯（first-order logic）中，量化詞的引進使得我們無法判斷何時該停止規則，因為不存在證明，所以缺少「可決定性」。
[13] 因為我們可以對式子有不只一種解釋，所以賦值函數V是相對於I的，故符號上標記為VI。
[14] Beall與Restall的說法是「cases」（2000, p. 476）。
[15] 其中的(V)大致意指本文中的(M)。
