基於學科的嚴謹性而特別設計的人工語言（如數學或程式語言）往往具有語彙的精準性：其中的謂詞（如「偶數」或「質數」）大多具有清楚的界線，以至於能夠精準地將這世界中的所有事物（或所有事物序列）窮盡而不重複地區分為兩類：該謂詞能夠適用和該謂詞不能適用的兩類。但幾乎每一個自然演化出來的人類語言（或日常語言）都包含許多含混的 (vague) 謂詞，如「是一個禿子」、「是一堆」、「是高的」、「是紅色的」、「是桌子」、「是中年」、「是五十個學生中相當小的一部分」、「相似於」等。這些含混謂詞的共同特性是：它們的用法似乎缺乏清楚的界線，以至於好像沒能將所有的事物（或所有的事物序列）窮盡而又不重複地區分區分為該謂詞能夠適用和該謂詞不能適用的兩類；或者說，它們在能夠應用和不能夠應用的事物（或事物序列）之間所劃出的界線似乎是「不清楚的」或「難以辨別的」(blurry, blurred or unclear)。比方來說，雖然二十五個（或三十五個）學生絕對不能算是五十個學生中「相當小」的一部分，而一或兩個學生絕對是五十個學生中相當小的一部分，但許多介於二與二十五（或三十五）之間的數目（比方說十二或十六）則很難說是、也很難說不是五十個學生當中「相當小的一部分」。當存在著一些事物（比如數目十二或十六）或一些事物序列（比如＜苗栗市、宜蘭市＞這一對都市）很難說是、也很難說不是一個一元或多元謂詞（如「是五十個學生中相當小的一部分」或「相似於」）能夠應用得上的事物或事物序列時，我們就說這個謂詞是一個含混的謂詞，而這些事物（或事物序列）本身則被稱為這些含混謂詞的「邊界例子」(borderline cases)。含混謂詞有時被定義為其界線難以辨別的謂詞，有時則被定義為具有邊界例子的謂詞。當我們使用一個含混謂詞去斷說該謂詞的一個邊界例子時，我們所說出的語句則被稱為「邊界語句」(borderline sentences)。
含混性不應與歧義性 (ambiguity) 相混淆，後者出現於一個被斷說的句子允許不只一種解釋的時候。含混的謂詞可以是歧義的也可以不是，而歧義的謂詞則可以是含混的或不含混的。「是紅色的」這個謂詞或許有許多不同的意思，但單純被用來區分顏色時，該謂詞仍然存在著邊界例子。「是一個自然數」是一個歧義的謂詞，它的定義有時包括零，有時則否。但不論是哪一種意思，「是一個自然數」都不是一個含混的謂詞。含混性也不應與晦澀性 (obscureness) 相混淆，後者包含了不特定的訊息。「我保證有一天會去拜訪妳。」（但哪一天呢？）是一個晦澀的說法，但這個說法可以不包含任何一個含混的謂詞。而說出一個邊界語句（如指著某個顏色說出「這個顏色是紅色的」）則可以沒有任何的晦澀性存在。含混性也不應該和範疇錯誤 (categorical mistake) 相混淆，後者出現在一個事物不屬於一個謂詞企圖談論的範圍時。說「對稱性ㄒ(symmetry)ㄒ吃過午飯了」（或「對稱性還沒吃過午飯」）可以是不含混的，儘管這樣的說法是範疇錯誤的一個標準例子。而對一個「是紅色的」的邊界例子斷說它是紅色的則沒有犯下任何的範疇錯誤可言。最後，含混性似乎也不應該與脈絡依賴性 (context-dependency) 相混淆（但這一點可能有爭議，詳見以下 4.2.3 節的脈絡論），脈絡依賴性詞彙的指稱或涉及的範圍往往隨著脈絡而異。代名詞和量化詞都是脈絡依賴性的語詞，但它們可以是精確的語詞。而就算「是一個高個子」是個脈絡依賴性的謂詞，但它之所以是含混的似乎並非源自於其脈絡依賴性（但這仍有一些爭議），而是源自於以下這個事實：在該謂詞的任何一個使用脈絡中，我們都能夠發現一些事物是該謂詞的邊界例子。
含混謂詞的主要哲學困惑在於：從一個（或一些）對某含混謂詞 F 來說似乎明顯成立的事實陳述，或許再加上一個對 F 來說也似乎明顯成立的簡單通則，我們似乎可以有效地推論出來一個看似明顯為假的結論，而這在邏輯上是不應該出現的現象。邏輯上，從真的前提有效地推論出來的結論都必然為真，不可能為假；但含混謂詞似乎允許我們從真的前提有效地推論出假的結論來，因而堆垛悖論通常被認為包含了至少一個不容易被發現的錯誤。這種利用含混謂詞的特性而從似乎為真的前提推論出似乎為假的結論的論證，由於其具有違反邏輯一般性原則的弔詭特性，因而一般也就被稱為「悖論」(paradox)。而該種悖論之所以以「堆垛」(sorites) 來命名，原因就在於當西元前四世紀猶比里底斯 (Eubulides) 第一次提出一個這種類型的論證時，他使用了「一堆」或「一垛」（sorites 源自希臘文 soros 意為 heap）這個含混謂詞的緣故。以下是堆垛悖論的幾種常見類型和例子。
令「an」是一個有 n 根頭髮的人的名字（其中 n 是一個自然數），而「B」縮寫了「是一個禿子」這樣的含混謂詞。為了簡化起見，讓我們假定是否是一個禿子這件事只和頭髮的數量有關。在這樣的假定下，以下這兩組前提似乎都明顯為真：
(1) Bao
(2) "x(if Bax then Bax+1)(1) Bao
(2') "x~(Bax and ~Bax+1)
其中，(1) 說的是：「0 根頭髮的 a0 是一個禿子」，而這似乎是一個與「是一個禿子」這個謂詞有關的明顯事實陳述。(2) 這個通則說的是：「不論 x 是什麼數目，如果有 x 根頭髮的 ax 是一個禿子，那麼，比他多一根頭髮的 ax+1 也會是一個禿子」，而 (2') 這個通則說的則是：「不論 x 是什麼數目，以下這件事都不會為真：有 x 根頭髮的 ax 是一個禿子，但比他多一根頭髮的 ax+1 卻不是一個禿子」。在我們前述有關於禿子和頭髮根數的假定下，(2) 和 (2') 這兩個前提似乎都是對該謂詞來說明顯成立的原則（有關對這兩個前提的進一步辯護，請參考第 3.1 節）。但如果 (1) 和 (2)（或 (1) 和 (2')）兩者都為真，那麼，運用一些簡單的古典邏輯推論規則（如全稱個例化規則 (universal instantiation) 和離斷律 (modus ponens)），我們便可以有效地推論出「Ba100,000」這個結論，亦即：有 100,000 根頭髮的 a100,000 也會是一個禿子（事實上，我們可以推論出更強的結論：「不論一個人有多少根頭髮，他仍然會是一個禿子」）。但這個結論似乎明顯為假，我們因而也就有了兩個充滿悖論性的堆垛論證。讓我們統一稱這兩種類型的堆垛悖論為「類型一的堆垛悖論」。（以上這兩個論證是否只是同一個論證的兩個不同寫法而已？這個問題的答案視讀者是否認為 (2) 和 (2') 在邏輯上等價 (logically equivalent) 而定。有些哲學家認為 (2) 和 (2') 在邏輯上等價，但有些哲學家則不如此認為。[1]）
以下是堆垛悖論的另一個例子（讓我們稱這種類型的堆垛悖論為「類型二的堆垛悖論」）。同樣令「an」是一個有 n 根頭髮的人的名字，而「B」縮寫「是一個禿子」這樣的謂詞。以下的 (1) 和 (3) 似乎是兩個與「是一個禿子」這個謂詞有關的明顯事實陳述（其中，(3) 說的是「至少有一個人不是個禿子」）。
(1) Bao
(3) $x~Bax
但如果 (1) 和 (3) 兩者都為真，那麼，同樣運用一些簡單的古典邏輯推論規則（如歸謬法 (reduction ad absudum)、全稱個例化規則和離斷律）和數學上的最小自然數原則 (the least number principle: 如果至少有個自然數是F，那麼就會有一個最小的自然數是F），我們就可以有效地推論出「$x(x³0 and Bax and ~Bax+1)」這個結論來，亦即：有個大於 0 的自然數 x 是這樣的：有 x 根頭髮的 ax 是禿子，但比他多一根頭髮的 ax+1 則不是。但這個結論似乎明顯與我們之前所作的假定（是否是禿子這件事只和頭髮的數量有關）相牴觸並因而為假，因而我們也就有了另一個充滿悖論性質的堆垛論證。
有些哲學家（如普里斯特 (Priest 2003)）認為，「等同」（或「…與___是同一個事物」）也是一個含混的二位謂詞。基於這個想法，普里斯特 (2003) 提供了一個有關於「等同」這個謂詞的堆垛悖論。讓 b0 是 Priest 的身體，並且假設 b0 是由 n 個分子所組成。讓 b0, b1, …, bn 是這樣的一序列事物，其中的每一個（除了第一個之外）都是將前一個事物中的某個人體分子換成炒蛋分子的結果，因而最後一個事物 bn 其實就只是一坨炒蛋。直覺上，如果我們將一個人體的分子換成某個炒蛋分子，我們並不會因此就改變那個人體的同一性。（我們每次消化完食物後，我們體內的組成分子就會和之前略有不同，不是嗎？但我們似乎並未因此改變同一性：消化後的身體仍然是之前的身體！）但這樣的直覺會迫使我們去說以下的這一序列的語句都為真：
b0 = b1
b1 = b2
…
bn-1 = bn
然而，一旦我們接受這一序列的語句都為真，那麼，透過古典邏輯的等同傳遞律 (transitivity of identity)，我們就會被迫去接受「b0 = bn」這個悖謬性的結論：普里斯特的身體等於一坨炒蛋。讓我們稱這種類型的堆垛悖論為「類型三的堆垛悖論」。
堆垛悖論雖然在西方哲學史上出現的時間很早，但西方哲學界對它的熱烈研究卻集中在二十世紀中葉之後。1950 年後，特別是在 1975 年之後，對堆垛悖論的各種哲學診斷與「解決方案」不斷出現，推陳出新。一個對於堆垛悖論的「解決方案」通常（但並不總是）包括一個有關於含糊語言的語意論（通常這種語意論會以形式語意論的樣貌出現）、以及該語意論所連帶提供的一套邏輯理論。這樣的語意論和邏輯理論不但要能夠讓我們診斷出各種類型（類型一至類型三）的堆垛悖論裡所潛藏的「盲點」（如果有的話），也要能夠在哲學上提供「為何這樣的盲點不容易被發現？」的可信說明。在檢視目前哲學家已經提供的各種堆垛悖論的解決方案之前，讓我們先看一些哲學家認為（或主張）與含混謂詞有關係的一些原則與現象。
為什麼我們要接受類型一堆垛悖論中的前提 (2) 或 (2') 以及類型三中的各個前提中的等同語句呢？又為什麼我們要認為類型二堆垛悖論中的結論明顯為假呢？接受那些前提（以及反對類型二的結論）背後的直覺是萊特 (Wright 1975) 所謂的「寬容性原則」(the tolerance principle)。這個原則的最粗糙表示法是說：事物間非常細微的相關差異並不會影響一個含混謂詞的可應用性；因而，比方來說，多一根頭髮或少一根頭髮的細微差別就不應該影響「是一個禿子」這樣的謂詞的可應用性（而多一個炒蛋分子或少一個炒蛋分子的細微差別也不應該影響兩個身體之間是否等同）。史密斯 (Smith 2008) 對寬容性原則給出了一個較為精確的說法。根據史密斯，以下這個寬容性原則 (T) 對於任何的 n-元含混謂詞 P 來說都成立，而且僅對含混謂詞來說成立：
(T) 對於任何的 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn>，如果 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn> 在 P-相關方面非常相似，那麼，「P(x1, …., xn)」和「P(y1, …., yn)」便有相同的真假。
在萊特的影響下，有些哲學家認為含混謂詞的最基本特性就是上述的這個寬容性，但並非所有的哲學家都接受這個看法。
比方來說，主張使用模糊邏輯 (fuzzy logic) 去解決堆垛悖論的史密斯 (Smith 2008) 便論證說，由於接受 (T) 會導致第 2 節中所看到的各種悖論，並且由於所有支持 (T) 的證據也都同樣支持他所謂的接近性 (C; closeness)：
(C) 對於任何的 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn>，如果 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn> 在 P-相關方面非常相似，那麼，「P(x1, …., xn)」和「P(y1, …., yn)」的真假值便非常接近。
因而，史密斯認為，我們最好將接近性（而非寬容性）當作是含混謂詞的最基本特性。史密斯進一步論證說：雖然寬容性原則不同於接近性原則，但在實用上，一個接受 (C) 的人會允許以 (T) 作為 (C) 的「近似品」(approximation)，而這是因為當 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn> 在 P-相關方面非常相似時，「P(x1, …., xn)」和「P(y1, …., yn)」在真假值上的差異（如果有的話）在實用上往往是可以忽略的；而這說明了何以許多人傾向於認為寬容性原則具有直覺上的可信度。接受史密斯接近性原則 (C) 的哲學家多半傾向於接受以模糊邏輯去看待堆垛悖論，並因而傾向於不接受類型一堆垛悖論裡的前提 (2) 或 (2')，也傾向於不全盤接受類型三裡的所有等同語句；因為，對於這樣的哲學家來說，一個句子的真或假是一個有程度性的事情 (a matter of degree)，而邊界語句或概括了邊界語句的全稱語句則最多只是真（或假）到一定程度的語句而已。
另一方面，主張以三値邏輯去解決堆垛悖論的王 (Wang 2016, 2018) 則論證說，由於接受 (T) 會導致悖論，並且由於實際上我們對於一個含混謂詞的使用方式，讓我們傾向於在「一定條件」下才會將該謂詞應用在任何兩個差異極小的事物上，因而實際上宰制我們含混謂詞使用的原則並非寬容原則 (T)，而是以下這個帶點限制性的寬容原則 (TR; restricted tolerance principle)：
(TR) 對於任何的主體 s、任何的場合 o、和任何的事物序列 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn>，如果 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn> 對於 s 在 o 這樣的場合來說在 P-相關方面是非常相似的，那麼，s 在 o 這樣的場合就應該將相同的真假値歸給「P(x1, …., xn)」和「P(y1, …., yn)」，只要在這樣的歸屬後，對於在 o 這個場合裡的 s 來說，該謂詞能夠應用和不能夠應用的兩類事物間仍然存在著顯著的 (salient) 區別。
王進一步論證說，由於兩類事物之間在 P-相關方面的差別「是否顯著」這件事往往因人和因場合而異，因而上述的原則允許我們對於同一個含混謂詞有多種不同的正確使用方式，甚至允許同一個人對於同一謂詞在不同場合也可以有多種不同的正確使用方式。接受王的限制性寬容原則 (TR) 的哲學家同樣傾向於不接受類型一堆垛悖論中的前提 (2) 或 (2')，也傾向於不全盤接受類型三裡的所有等同語句；因為，對於這樣的哲學家來說，接受這些前提意味著違反了 (TR) 裡斜線部分所強調的限制性條件。
威廉森 (Williamson 1994) 認為，當我們對於某類事物（如顏色或人數）的辨別能力有限時，我們仍然可以對該類事物獲得一些知識（這類知識被稱為「不精確知識」(inexact knowledge)），只是這些知識受到以下這個他稱為「誤差範圍原則」(margin for error principle) 所宰制：
(ME)「主體 s 知道 p」在 o 這個場合下為真的必要條件之一是：p 在所有相似於 o 的場合中仍然會是真的。
至於如何算是相似？威廉森則認為這要視情況而定。不過，由於非常相似（以至於對 s 來說無法區辨）的兩個情況當然算是「相似」的情況，因而 (ME) 蘊含：如果 p 在某個非常相似於 o 的可能情況 w 下不為真，那麼，主體 s 在 o 這個場合下就不會知道 p。威廉森認為寬容性原則 (T) 會導致矛盾，但 (ME) 和實際含混謂詞的使用卻不會導致矛盾。[2]（為了便於理解起見，讓我們在此舉一個例子說明 (ME)。假設你／妳對於體育場內人數的辨別能力並非很強，但五百人之外的差別是你／妳看得出來的差別。現在，假定體育場內實際上有 1500 人，而你／妳在觀察體育場後說：「體育場內有 1000 至 2000人」（稱此為 p）。你／妳對於 p 的信念是否滿足 (ME) 並因而構成知識？直覺上是的；因為，你的信念 p 在所有非常相似於實際情況的可能情況中（如只有 1499 人或有 1501 人在體育場的情況）都是真的。但如果你／妳說的是：「體育場內有 1500 人」（稱此為 q），直覺上你的信念 q 並不滿足 (ME) 並因而不構成知識；因為，你的信念 q 在許多非常相似於實際情況的可能情況中（如只有 1499 人或有 1501 人在體育場的情況）並不為真。）
最後，洛夫曼 (Raffman 2014) 也認為 (T) 會導致悖論，但她認為 (T) 容易與下面這兩個可以被接受的原則相混淆，而這也就是為何 (T) 看起來可信的原因：
(RI) 對於任何的 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn>，如果 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn> 在 P-相關方面非常相似，那麼，將「P」應用於 (x1, …., xn) 而不應用於 (y1, …., yn)，這樣的作法就會是任意的 (arbitrary)。
(RII) 對於任何的 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn>，如果 <x1, …., xn> 和 <y1, …., yn> 在 P-相關方面非常相似，那麼，「P」對於 (x1, …., xn) 和 (y1, …., yn) 便應該有相同的應用性，只要這兩個事物序列是成對地 (pairwise) 被考慮。
含混謂詞的含混性又至少可以分為一階的含混性 (first-order vagueness) 和高階的含混性 (higher-order vagueness) 兩種，而這幾乎是所有處理堆垛悖論的哲學家的共同意見（或許除了海德 (Hyde 1994) 之外）。我們可以稱一個含混謂詞確定能夠應用得上的事物（或事物序列）為該含混謂詞的「正面例子」(positive cases)，而稱一個含混謂詞確定不能夠應用得上的事物（或事物序列）為該含混謂詞的「負面例子」(negative cases)。毫無疑問的，許多含混謂詞都有其正面的例子和負面的例子，但更重要的事情是：含混謂詞還有我們之前所謂的邊界例子。含混謂詞具有其正面例子與負面例子之外的邊界例子這一現象，通常被稱為含混謂詞的「一階含混性」。但許多學者（如山斯伯里 (Sainsbury 1991, 168)）還指出，大多數的含混謂詞不但具有「似乎既不屬於其正面例子也不屬於其負面例子」的（一階）邊界例子，更具有「似乎既不屬於其正面例子也不屬於其（一階）邊界例子」的例子（或「似乎既不屬於其負面例子也不屬於其（一階）邊界例子」的例子）。換言之，對於大多數的含混謂詞來說，有些事物（或事物序列）既難說是該謂詞的正面例子（或負面例子），也難說是該謂詞的（一階）邊界例子。含混謂詞具有其正面例子（或負面例子）與（一階）邊界例子之外的例子這一現象，通常被稱為含混謂詞的「二階含混性」(second-order vagueness) 或「高階含混性」。簡單地說，含混謂詞不但具有一階含混性，通常還具有二階或高階含混性。任何一個對堆垛悖論的解決方案，都必須提供一個允許含混謂詞具有不同階層含混性的恰當語意論。
含混謂詞除了具有不同階層的含混性之外，有些哲學家（如范 (Fine 1975)、威廉森 (Williamson 1994) 和幽庫哈特 (Urquhart 1986)）還認為，含混謂詞還具有范所謂的「半影連結性」(penumbral connection)。不過，含混謂詞是否真的具有半影連結性這個特性？而如果有的話，這樣的連結性的恰當表述方式為何？這些都還是有爭議的問題。「半影」在此是一個譬喻，指的是我們前述的邊界語句。在一些哲學家看來，就算（如同某些三值邏輯學家所言）邊界語句並沒有真假可言，但它們之間仍然可能存在著邏輯上的關聯。舉例來說，如果 a 是「是紅色的」的一個邊界例子，因而「a 是紅色的」和「a 不是紅色的」這兩個邊界語句都沒有真假可言，但范仍然認為，即便如此，以下這兩個語句卻仍然有確定的真假：
(PC1) a 是紅色的或不是紅色的
(PC2) a 既是紅色的又不是紅色的
對范來說，(PC1) 明顯為真而 (PC2) 明顯為假。范認為，任何一個對堆垛悖論的解決方案，都必須提供一個允許含混謂詞具有半影連結性的恰當語意論；不過，我們剛才說過，半影連結現象並不能算是哲學家間的一個共識。
早期的分析哲學家（如弗列格 (Frege 1903)、羅素 (Russell 1923) 和蒯因 (Quine 1981)）認為自然語言是一種漫無章法的缺陷性語言，並不適合對之作邏輯和精確的語意分析，而堆垛悖論也就被當作是自然語言漫無章法的一個表徵。對於早期的分析哲學家來說，我們不能也無需去分析或處理這樣的悖論，我們需要的是去追求一種理想的、無類似缺陷的語言。但隨著哲學家對日常語言的重視，對含混性作出系統性的分析以解決堆垛悖論這件事，反倒成了分析哲學界自 1975 年之後的研究熱點之一。在這個研究風潮下，有關於含混性和堆垛悖論的理論已經出現了許多種，這些不同的理論和擁護它們的哲學家至少包括：[3]
需要注意的是，上述的分類方式並非互相排斥的，因而同一個人的理論有可能被歸類為不只一種的理論（比方說法拉的理論）。顯然，理論的多樣性讓我們很難有一個簡單的分類方式，也不可能在一個詞條內仔細一一說明。以下我們採取一個簡單但同樣不適互相排斥的分類方式，並簡略說明一些常被討論的理論。
採取古典二值語意論的理論認為含混語詞其實有確定的程距或精確的界線，因而含混語言的語句其實只有真和假兩種語意值。前述許多理論採取這裡所說的古典二值語意論，認為邊界語句仍然只有真和假兩種可能，這些理論包括認知論、洛夫曼的多重程距論、何根的超越賦值論，以及一些脈絡論。我們在此特別說明認知論和多重程距論，但也會附帶說明一些脈絡論者的看法。
認知論者中最著名和最有影響力的哲學家是威廉森。根據威廉森 (Williamson 1994) 的看法，4.2 節中各種採取非古典語意論去解決堆垛悖論的想法都不可信，因而我們應該認為含混謂詞其實都具有清楚的界線，並因而認為所有的邊界語句也都有一定的真假，問題只在於我們不可能知道（而非單純不知道）這些邊界在哪裡而已，因而也就不可能知道所有邊界語句的真假。從認知論者的角度來看，要指出第 2 節中幾個堆垛悖論的問題所在其實很容易。該處類型一和類型三的堆垛悖論雖然都是邏輯上有效的，但它們至少有一個前提為假，如 (2)、(2') 和至少一個等同語句。(2) 或 (2') 為假的理由很簡單：如果存在著一個自然數 x 是這樣的：有 x 根頭髮和有 x+1 根頭髮間的差別剛好就是禿子與非禿子間的精確界線，那麼 (2) 和 (2') 這樣的全稱語句就為假。類似的，如果「等同」其實是一個有精確邊界的謂詞而「b0 = bn」實際上為假，那麼，類型三堆垛悖論的前提當中就至少有一個是假的。至於類型二的堆垛悖論，認知論者則會認為該論證不但是有效的，其前提和結論也都為真：其結論說的正好就是認知論的主張。
但如果認知論要有說服力，一個重要的關鍵就在於它要能夠對以下這兩個問題提出可信的解釋：什麼事情使得含混謂詞具有精確的邊界？又，如果每一個含混謂詞實際上都有一個精確的邊界，為什麼我們不可能知道（而非單純不知道）任何一個含混謂詞的精確邊界所在？對於這兩個問題，威廉森提供了以下的答案。根據威廉森 (Williamson 1994)，我們對於一個字詞的使用傾向 (disposition) 決定了 (determine) 該字詞的意義，因而含混謂詞的精確界線是由所有使用者對於該謂詞的實際使用傾向來共同決定的。但由於對於任何一個含混謂詞來說，我們都不可能知道所有使用者對於該謂詞的所有使用傾向，因而我們不可能知道這些傾向所決定的邊界所在；這就是我們何以不可能知道含混謂詞的精確邊界的一個原因。另一個原因則是我們在前一節中所說的「誤差範圍原則」。由於該原則要求我們對於含混謂詞邊界位置的知識內容（如「i 根頭髮和 i+1 根頭髮是禿頭和非禿頭之間的界線」）必需在每一個十分相似於實際情況的可能情況 w 中都為真（如該邊界界於 x+1 和 x+2 之間的可能情況），而有關於該邊界的內容其實不可能在任何一個這樣的可能情況中為真，因而我們也就不可能具有關於該邊界位置的知識。不過，威廉森的解釋並非唯一的解釋；比方來說，通常被歸為脈絡論者的法拉 (Fara 2008)，就訴諸了脈絡與含混謂詞外延間的變動關係去說明為何我們不可能知道一個含混謂詞的精確邊界所在。根據 Fara，含混謂詞雖然有精確的邊界，但其邊界常隨著脈絡中的因素（如我們的興趣）而改變。比方來說，當我們志在尋找並注視著該精確的邊界時，我們的注視本身就會改變該邊界的位置，而這也就是何以該精確的邊界不可能被發現的原因。
認知論的主要問題有二。首先，該理論乍看之下就不可信。尤其是，該理論很難讓人相信：我們對於含混語言的整體使用傾向的確決定了（而非低度決定了 (under-determine) 或過度決定了 (over-determine)）每一個含混謂詞的精確外延。其次，該理論的可信度一部分建立在對於其它理論的批評之上，而這些批評並非沒有爭議。
洛夫曼 (Raffman 2014) 的多重程距論避免了前述認知論的第一個問題，但仍然維持了一個古典的二值語意論。對於洛夫曼來說，我們對一個含混謂詞的整體用法傾向並未能為該謂詞決定出一個精確的邊界；但是，為了避免將一個含混謂詞（如「是紅色的」）連續地應用在一序列極為相似的事物（如一長序列由紅到白的色帶）之上並因而導致悖謬的結果，在實際應用該含混謂詞時，我們勢必會（而且也被允許）武斷地決定一個停止應用點。在同一個脈絡中，不同的人對於同一個謂詞的停止應用點可能不同，而同一個人在不同場合中對於同一個謂詞的停止應用點也可能不同，但這些停止點都是可以被允許的，不能說有任何錯誤。使用者在一個場合中決定某含混謂詞能夠應用的事物便構成該謂詞的一個程距 (range)，而任何一個含混謂詞都有多個可被允許的程距。因而，一個含混語句的真或假必須被看作是相對於一個程距的事情。事實上，一個程距也可以被看成是一個古典的二值語意模型。如果我們將一個涉及含混謂詞的論證的有效性定義為「在所有程距中都必然保持真值」，那麼，我們的邏輯仍然是古典的邏輯。從多重程距論者的角度來看，第 2 節中幾個堆垛悖論的問題基本上仍是一樣的。該處類型一和類型三的堆垛悖論雖然都是邏輯上有效的，但它們至少有一個前提為假，如 (2)、(2') 和至少一個等同語句。(2) 或 (2') 為假的理由很簡單：在每一個程距中，都有個自然數 x 是這樣的：有 x 根頭髮的人被使用者斷定為禿子，而有 x+1 根頭髮的人則不然；因而，(2) 和 (2') 這樣的全稱語句在每個程距中都為假。類似的，在每一個程距中，使用者都勢必會將「等同」這個謂詞停止使用在某一對相鄰的 bi 和 bi+1 之上，而這會使得「bi = bi+1」為假。至於類型二的堆垛悖論，多重程距論者則會認為該論證不但是有效的，其前提和結論也都為真：其結論在每一個程距中都為真。語意論上來說，多重程距論採取了二值的語意論，但這個作法遭到了王 (2016, 2018) 的批評，儘管後者支持多重程距的基本想法。
對於含混謂詞採取古典語意論的哲學家認為，我們對於含混語言的整體用法傾向替每一個含混謂詞都決定出了一個精確的外延；在他們看來，含混謂詞都有確定的 (definite) 或明確的 (determinate) 外延，因而含混性只是一種認知的現象，而非語意現象。相反於此，對含混謂詞採取非古典語意論的哲學家則分為兩類。第一類哲學家認為我們對於每一個含混謂詞的整體用法傾向都最多只是「低度決定了」該謂詞的精確外延；在他們看來，含混謂詞的外延在語意上都是不確定的 (indefinite) 或不明確的 (indeterminate)，而說一個謂詞的外延是「不明確的」或 "indeterminate"，通常意味著沒有甚麼事實（包括對該謂詞的整體使用傾向）可以決定出該謂詞的精確外延，因而邊界語句其實都是既非真亦非假的語句。第一類哲學家還可以再分成兩個子類：將「或者」和「而且」當作是真值函數 (truth-function) 式的連接詞的理論（如真值空缺論、模糊論和雙面真理論）和將它們當作是非真值函數 (non-truth-function) 連接詞的超賦值論。[4]第二類對含混謂詞採取非古典語意論的學者則認為，我們對於每一個含混謂詞的整體用法傾向其實都「過度決定了」該謂詞的外延；在他們看來，邊界語句其實都是既真且假的語句。以下我們分別說明這幾種理論。
根據霍登 (Hallden 1949)、孔能 (Korner 1955)、泰 (Tye, 1994)、費爾德 (Field 2003,2008) 和王 (Wang 2016, 2018) 的真值空缺論，含混性並不是認知現象而是一種語意現象：我們有關於含混語言的整體用法傾向和世界中的事實最多只低度地決定了一個含混謂詞的可應用性。因而，一個含混謂詞除了有由其正面例子所構成的「外延」(extension) 和由其負面例子所構成的「反外延」(anti-extension) 之外，還存在著一些既不在其外延之內亦不在其反外延之內的邊際例子。當我們把一個含混謂詞用來斷說在其外延中的事物時，我們所說的語句為真，而當我們把一個含混謂詞用來斷說在其反外延中的事物時，我們所說的語句為假；但（初階或高階）邊界語句則沒有任何真假可言，或者說，它們具有真假之外的第三種語意值（通常以 "n" 或 "1/2" 表示）。
真值空缺論者雖然都會把「或者」和「而且」當作是真值函數式的連接詞，但他們可能以強克林 (strong Kleene) 的三值語意論去解釋這些連接詞（如孔能、泰、費爾德和王），也可能以弱克林 (weak Kleene) 的三值語意論去解釋它們（如霍登）。不過，這個差別並不影響他們診斷或解決堆垛悖論的方式。比較有影響力的是他們對於「有效論證」的定義方式。霍登、費爾德和王都以常見的方式將「有效性」定義為「必然保持真值」(necessarily truth-preserving) 的性質，但孔能和泰則將之定義為「必然保持真值或空缺」(necessarily truth-or-gap-preserving) 的性質。由於孔能和泰的有效性定義使得他們在邏輯上認同於弗協調邏輯 (paraconsistent logic)，所以我們不在這一段落中說明他們的理論。（讀者可以參考下一段落中對於雙面真理論的說明。）對於像霍登、費爾德和王這樣的真值空缺論者來說，第 2 節中幾個堆垛悖論的問題是這樣的：無論從強克林或弱克林的角度來看，類型一和類型三的幾個推論都是邏輯上有效的，但它們的結論都為假；因而，他們的前提當中至少有一個不為真（但也不為假）。類型一中的前提 (2) 和 (2') 都既不為真也不為假。它們之所以既不為真也不為假的理由是：(a) 雖然並非它們所有的個例 (instance) 都為真，但它們也沒有任何為假的個例；以及 (b) 在真值空缺語意論中，當一個全稱語句符合 (a) 時，該全稱語句就既不為真也不為假。類型三的悖論中之所以有些等同語句既不為真也不為假，則簡單是因為它們就是「等同」這個謂詞的一些邊界語句所致。至於類型二的堆垛悖論，從霍登、費爾德和王的立場來看，它的前提都為真但結論不為真（但也不為假），因而該論證並不是一個有效的論證。該論證的結論是一個存在語句，而該結論之所以既不為真亦不為假的理由是：(a') 雖然並非它的所有個例都為假，但它也沒有任何為真的個例；以及 (b') 在真值空缺語意論中，當一個存在語句符合 (a') 時，該存在語句就既不為真也不為假。除了對這些論證的診斷之外，真值空缺理論者通常還會附帶補充說：由於第一和第三種悖論的前提都並非為假而第二種悖論的結論亦非為真的緣故，所以這些悖論讓人有一種「似乎這些相關的前提都為真而相關的結論都為假」的直覺，但這「直覺」其實是一種錯覺。
相對來說，雙面真理論者（如亞斯科斯基 (Jaskowski 1948)、普里斯特 (Priest 2010) 和海德 (Hyde 1997)）則認為，含混語言的整體用法傾向和世界中的事實過度決定了一個含混謂詞的可應用性；因而，邊界例子其實是一個含混謂詞的「外延」和其「反外延」的重疊部分。當我們把一個含混謂詞用來斷說一個邊界例子時，我們所說的語句因而既真且假。雖然雙面真理論者仍然以「必然保持真值」去定義有效性，但因為他們的語意論中允許有既真且假的語句，因而他們的語意論產生了一種「弗協調邏輯」（類似地，孔能和泰的有效性定義也產生出一種弗協調邏輯），而許多在古典邏輯中有效的推論類型（如離斷律和等同傳遞律）在弗協調邏輯中就不再是有效的推論類型。對於雙面真理論者來說，第 2 節中幾個堆垛悖論的問題是這樣的：從弗協調邏輯的角度看，類型一和類型二的推論都不是邏輯上有效的推論，而且都至少有一個既為真也為假的前提。類型一中的前提 (2) 和 (2') 雖為真但也為假（但孔能和泰會說它們既不真也不假）。它們之所以是既為真也為假的理由是：(a) 所有它們的個例都或者為真，或者既真且假；以及 (b) 在雙面真理論的語意論中，當一個全稱語句符合 (a) 時，該全稱語句就既為真也為假。類型三中有些等同語句之所以既為真也為假（但孔能和泰會說它們既不真也不假），那是因為它們就是「等同」這個謂詞的一些邊界語句所致。至於類型二的堆垛悖論，從弗協調邏輯的角度來看，該論證是一個有效的論證，但它的結論既為真也為假（但孔能和泰會說該結論既不真也不假）。該論證的結論之所以既為真也為假的理由是：(a') 雖然它的所有個例都為假，但它同時也有一些為真的個例（也就是說，它有一些既真且假的個例）；以及 (b') 在雙面真理論的語意論中，當一個存在語句符合 (a') 時，該存在語句就既為真也為假。除了對這些論證的診斷之外，雙面真理論者通常還會補充說：我們之所以認為這些推論都是有效的，部分是忽略了有些語句既真且假的緣故；而且，由於第一和第三種悖論的前提都為真（雖然也為假）而第二種悖論的結論亦為假（雖然也為真）的緣故，所以這些悖論讓人有一種「似乎這些相關的前提都為真而相關的結論都為假」的直覺，雖然這個「直覺」不是一種錯覺，但卻誤導了我們對於這些悖論的評價。
批評者通常認為，真值空缺論和雙面真理論都忽略了高階含混性的存在。由於在這兩類的語意論中，事物通常被精確地分為三類（屬於外延者、屬於反外延者和其它），因而這樣的理論似乎不允許高階含混性的存在。（但泰 (Tye 1994) 認為語意論中的這個區分也應該被看作是含混的，而王 (Wang 2008) 則認為訴諸多重正確賦值的想法可以避免這個問題。）除了高階含混性的問題之外，范 (Fine 1975) 還認為真值空缺論無法容許半影語句之間的連結性，因而值得反對。（換言之，第 3.2 節中的 (PC1) 和 (PC2) 在真值空缺論中都既不為真亦不為假。）
為了要容許高階含混性的存在，有些哲學家（如杰德 (Zadeh 1975)、哥坤 (Goguen 1969)、普里斯特 (Priest 1998, 2003)、海德 (Hyde 2008) 和史密斯 (Smith 2008) 等）認為光將語句區分為真、假、和不真不假三類是不夠的，我們需要的是一種允許語句可以有無窮多個語意值的語意論。這類的哲學家通常認為含混謂詞所代表的特性（如紅色這種顏色）都是有程度性的特性，而將一個含混謂詞應用到一個事物上時，我們所說出的語句的真（或假）也是有程度性的。為了表示這種程度性，這些哲學家通常採取模糊語意論的作法，將 0（代表完全假）至 1（代表完全真）之間的每一個實數都當作一個可能的語意值。從這種語意論的角度看，將含混謂詞用在其正面例子上的語句真假值為 1，用在其負面例子上的語句真假值為 0，而邊界語句則可以有除了 0 和 1 之外的各種或大或小的語意值。但除了上述這些共同的想法之外，模糊論者所採取的語意論細節往往就有很大的差異了，而他們對於有效性的定義尤其是南轅北轍。從語意論上說，模糊論者對於條件句的真值條件至少有兩種看法，而從有效性的定義上來看，流行的有效性定義也至少有四種（定義為「必然保持 1 值」、「結論必然超越前提中的最小真值」、「必然保持超過門檻值」和史密斯 (Smith 2008) 中的一個特殊定義）。這些不同的語意論和有效性定義因而產生了各種十分不同的模糊邏輯。我們無須（也不可能）在此仔細說明這麼多種不同的邏輯；我們只需要注意以下這兩件事實就夠了。第一，不論一個模糊論者如何判定一個堆垛悖論論證的有效性，他通常會說它的結論的確為假（為 0），但它的部分前提（如 (2) 或 (2')）則不為真（不為 1）。第二，他通常還會說，雖然該論證的前提不為真（不為 1），但它的前提相當真（非常接近 1），這使得它的前提看起來都像是真的 (1)。
批評者通常認為模糊論有以下的幾個問題。首先，是不是每一個含混謂詞所代表的特性都是有程度性的特性？這是一個有爭議性的問題。其次，真假是否有程度性？這也是一個有爭議性的問題。再者，任何兩個邊界語句（如「a 是一個禿子」和「b 是紅色的」）是否都如模糊理論者所認為的，可以比較彼此真假的程度？這個問題也是有爭議性的。第四，用精確數值去代表含混的程度，這樣的作法往往被批評為一種特設 (ad hoc) 的設計（但史密斯 (Smith 2008) 認為訴諸多重賦值可以避免這個批評）。最後，模糊論似乎仍然無法容許半影語句之間的連結，因為，在幾乎每一種模糊語意論中，當「a 是紅色的」語意值為 0.5 時，(PC1) 和 (PC2) 的語意值也都是 0.5。
為了要允許含混的語言可以有半影連結性，有些理論家（如范 (Fine 1975)、路易士 (Lewis 1970)、坎普 (Kamp 1975)、潭美 (Dummett 1975)、普則雷奇 (Przelecki 1976)、班內特 (Bennett 1998)、奇芙 (Keefe 2000)、麥基 (McGee 1991)、瓦濟 (Varzi 2001) 等）雖然認為含混的語言是被低度決定的語言，並因而採取三值的語意論，但卻對「而且」和「或者」（以及「如果…則」）這些連接詞採取一種非真值函數式的語意論。這其中最有名的是范的超賦值論，而本節的說明也以他的理論為主。
像真值空缺理論者一樣，范 (Fine 1975) 也認為一個含混謂詞有其外延、反外延和一些邊界例子。但范認為這些邊界例子可以被任意地劃歸到外延或反外延中，而當我們將所有的邊界例子都如此劃分到外延或反外延中時，這樣的做法就被稱為「精確化」(precisification)。精確化其實也就是一個古典的二分法語意論，但讓原來在含混謂詞外延（和反外延）中的事物繼續留在外延（和反外延）中。基於我們的一些規範（別管哪些），有些精確化的方式是可以被接受的，但有些則否。當一個語句在所有可被接受的精確化中都為真時，這樣的語句就被稱為「超級真」(super true) 或簡稱為「真」。當一個語句在所有可被接受的精確化中都為假時，這樣的語句就被稱為「超級假」(super false) 或簡稱為「假」。而當一個語句在一些可被接受的精確化中為真但在一些被可接受的精確化中為假時，這樣的語句就被稱為「非真非假」。在這樣的定義下，當我們把一個含混謂詞應用在一個正面例子上時，我們所說的語句是超級真。當我們把一個含混謂詞應用在一個負面例子上時，我們所說的語句是超級假。而當我們把一個含混謂詞應用在一個邊際例子上時，我們所說的語句則是非真非假。乍看之下，范的理論和真值空缺論似乎相差不大，但其實不然。范要求所有語句的真假都要以其在各種精確化中的結果去判定，這樣的要求對於複雜語句的真假產生了十分不同的結果：就算「a 是紅色的」和其否定都是非真非假，但由於「a 是紅色的或不是紅色的」在所有的精確化中都為真，而「a 既是紅色的又不是紅色的」在所有的精確化中都為假，因而，前者 (PC1) 是超級真而後者 (PC2) 是超級假。這個結果也連帶的使得「而且」和「或者」成了非真值函數式的連接詞。在邏輯方面，范 (Fine 1975) 以「必然保持超級真」作為有效性的定義，而這樣的定義方式使得古典邏輯中的所有邏輯真句和大多數有效推論類型（條件證明、歸謬法和建構的二難等是例外）仍然繼續是邏輯真句和有效的推論類型。因而，在范看來，第 2 節中三類悖論，不但從古典邏輯角度來看是有效的推論，從超賦值的角度來看仍然亦是如此。第一類悖論的問題在於其中的 (2) 和 (2') 是超級假。第三類悖論的問題則在於其部分語句是不真不假。至於第二類的悖論，它的前提和結論都為超級真，論證完全沒有問題。
批評者通常認為超賦值理論有以下的幾個問題。首先，雖然這個理論保存了半影連結性，但高階含混性的問題卻沒有一個簡單的解決方案。其次，這個理論同意第二類論證的結論為真，這對很多人來說是一個難以接受的結果。最後也是最重要的。這個理論產生了以下這個所謂「證人消失」(missing witness) 的問題：一個超級真的選取句（如 (PC1)）可以兩個選取項都非超級真；一個超級假的合取句（如 (PC2)）可以兩個合取項都非超級假。類似地，該理論允許一個超級真的存在語句（如第二類悖論的結論）沒有任何一個超級真的例子，它也允許一個超級假的全稱語句（如第一類悖論中的 (2) 和 (2')）沒有任何一個超級假的例子。
從語意論上來說，脈絡論者分屬於我們之前見過的古典的二值語意論者（如法拉 (Fara 2000, 2008)、洛夫曼 (Raffman 1994)）、非古典的三值語意論者（如桑姆斯 (Soames 1999)）和超賦值語意論者（如沙皮若 (Shapiro 2006)）。他們的共通之處在於特別強調含混述詞的外延會隨著脈絡的改變而改變，而堆垛悖論的表面可信度其實來自於暗中的脈絡轉移。脈絡論者的理論不一而足，難以一一說明，以下我們只以洛夫曼坎普 (Kamp 1981) 的理論來簡單舉例說明。
坎普 (Kamp 1981) 認為堆垛悖論中的許多前提（如 (2) 和 (2')）其實為假，而他的目標在於解釋為何這些為假的前提會看起來像是真的。坎普 (Kamp 1981) 認為這樣的混淆源自於以下這個原因：這些全稱命題的每一個例子在它們各自說出的脈絡中都為真。對坎普來說，脈絡的主要因素是談話中被接受的語句。如果你／妳接受「a0 是一個禿子」，你／妳就會傾向於接受「如果 a0 是一個禿子，那麼 a1 也會是一個禿子」，而如果你／妳接受了前兩個句子，那麼你／妳就會進一步傾向於接受「如果 a1 是一個禿子，那麼 a2 也會是一個禿子」等等。但一般人沒有注意到的事情是：接受不同的語句其實就是處於不同的脈絡中。由於 (2) 和 (2') 的每一個例子在其各自的脈絡中都為真，我們因而傾向認為 (2) 和 (2') 本身就為真，但這其實是一個錯覺。脈絡論者對於堆垛悖論的前提為何看似無誤的說明往往具有一定的爭議性，但這些爭議無法在此一一說明。
就算第 2 節中所提到的幾個堆垛悖論都潛藏著至少一個錯誤，就算第 3 節中所謂的寬容原則也不普遍成立，但這並也不意味著所有同類型的論證都潛藏著至少一個錯誤，也不意味著寬容原則對於每一個含混謂詞來說都不成立。當寬容原則對於某個特定的含混謂詞成立時，哲學家們仍然可以利用該原則和一個類似於堆垛悖論的論證（一般稱為「連鎖論證」）去辯護他／她們的主張。以下我們就來看一個這樣的例子。這個例子所關切的問題是形上學中部分整體學 (mereology) 裡的一個問題，該問題通常被稱為「特殊組合問題」(special composition question SCQ)。特殊組合問題是一個與組成有關的問題。日常生活中，似乎有些物質性的事物（如一輛腳踏車）是由數個部分所組成，但有時數個事物（如我的鼻子和巴黎的鐵塔）就不構成一個新的、具有這兩部分的事物。特殊組合問題因而問的是：在什麼情況或條件下，數個物質性的事物（如腳踏車的數個部分）可以組合成一個新的（並因而是存在的）、具有部份的物質性事物（如腳踏車）？這個問題由應韋跟 (van Inwagen) 在 1990 年提出，問題本身雖然簡單，但到目前為止與之有關的討論卻越來越複雜。我們無須在此說明這些複雜的討論，對於我們的目的來說，我們只需注意一個類似於堆垛悖論的連鎖論證在其中所扮演的角色和兩個特殊的相關理論即可：虛無論 (nihilism) 與普遍論 (universalism)；前者主張任何數個物質性事物都不可能組成一個新的物質性事物，而後者主張任何數個物質性事物都必然組成一個新的物質性事物。
虛無論者和普遍論者通常訴諸以下這樣的一個連鎖論證去論證他們的立場。令 c0 是 i 個原子明顯沒組成任何新事物的一個可能情況（比方來說，這 i 個原子分別散布在宇宙當中 i 個彼此距離遙遠的星球上），cn（此處，n 是任意大的一個數字）則是這 i 個原子明顯組成了某個新事物（比如說我的身體）的一個可能情況。現在，令 c0, c1, …, cn 是一序列有關於這 i 個原子的距離、相對位置、因果作用力等的一序列可能情況；其中，任何兩個相鄰的可能情況之間，這 i 個原子的距離、相對位置、因果作用力等的差異都極為細微，以至於—直覺上—如果這i個原子在其中一個可能情況 cx 下組成（或不組成）一個新事物，這i個原子也會在 cx 的下一個可能情況下—也就是 cx+1 —組成（或不組成）一個新事物。但這個直覺和我們在一開始所作的兩個假設是共同不一致的；換句話說，以下的 (a)-(c) 不可能同時為真：
(a) 這 i 個原子在 c0 的可能情況下未組成任何新的物質性事物。
(b) 這 i 個原子在 cn 的可能情況下組成了一個新的物質性事物。
(c) 對於任何 0£x<n 來說，如果這 i 個原子在 cx 組成（或不組成）一個新的物質性事物，這 i 個原子也會在 cx+1 的可能情況下組成（或不組成）一個新的物質性事物。
因此，(a)-(c) 當中至少有一個為假；但問題是哪一個？許多哲學家（如路易士 (Lewis 1986)）指出，如果你選擇認為 (c) 為假，這將會迫使你去說：「在 c0, c1, …, cn 這一序列情況中，至少有兩個相鄰且差異極為細微的可能情況 cx 和 cx+1 會是這樣的：這 i 個原子在 cx 的可能情況下沒有組成一個新的物質性事物，但在 cx+1 的可能情況下卻組成了一個新的物質性事物。」但這個說法似乎是武斷而不可信的。如果你同意這的確是武斷而不可信的，那麼，你就只剩下兩個選擇：否認 (a) 或否認 (b)。否認 (a) 但接受 (b) 和 (c) 的結果是：你得承認任何幾個物質性的事物（如我的鼻子、巴黎鐵塔、和天鵝座中的某個物理粒子）在任何情況下都組成一個新的物質性事物。這就是普遍論者（如路易士）的看法。虛無論者（如賽德 (Sider 2013)）則選擇接受 (a) 和 (c) 並否認 (b)，而接受 (a) 和 (c) 的一個結果是：你得認為這個世界上從來就只有個別的原子，沒有其他的物質性事物；換言之，「組成新的物質性事物」這件事從來就沒有發生過！
[1] 這個差別可能(但不必然)會影響你/妳如何診斷堆垛悖論的問題。比方來說，普里斯特(Priest 2006)認為(2’)中的連接詞“and”是真值函數式的連接詞但(2)中的“if…then”則不然。因而，根據他在(Priest 2006)中所提出的弗協調邏輯(paraconsistent logic)，這兩個論證中的第一個是有效的，但第二個論證則不然。不過，雖然費爾德(Field 2003, 2008)也認為“and”是真值函數式的連接詞但“if…then”則不然，但這兩個論證對他來說都仍然是有效的。
[2] 但海德(Hyde 2018)對於誤差範圍原則有一個較為不同的理解。根據海德，威廉森誤差原則說的是：對於任何的<x1, …., xn>和<y1, …., yn>，如果<x1, …., xn>和<y1, …., yn>在P-相關方面非常相似，那麼，如果「認知主體s知道P(x1, …., xn)」為真則「P(y1, …., yn)」也為真。不論海德的解讀是否正確，海德的解讀仍然可以用來支持第4節中所說的認知論。
[3] 除了以下這些理論之外，或許我還應該加上利用子結構邏輯去處理(堆垛)悖論的理論。近年來有些哲學家，如Shapiro (2015)和Ripley (2015)等，試圖從子結構邏輯的視角去檢視語意悖論，並主張我們或許可以透過修正古典的結構規則而去解決語意悖論。但由於這樣的解決方案本身極具特設性，而且似乎沒有人將之延伸應用來解決堆垛悖論，因而我並不打算將這個「結構性理論」列在本文中。
[4] 討論堆垛悖論的哲學家通常將「不是」也當作真值函數式的連接詞，但他們對於「如果…則」這個條件句連接詞的態度則不同。如果你/妳將「如果…則」當作是真值函數式的連接詞，那麼，由於「不是」、「而且」和「或者」已經是功能上完備的(functionally complete)，你/妳便沒有必要額外引介條件句連接詞到你的形式語言中，也無須對類型一堆垛悖論的兩種子類作不同的診斷與處理。但如果你/妳像普里斯特或費爾德一樣，認為條件句連接詞是非真值函數式的，那麼，為了要診斷或處理使用條件句的堆垛悖論，你/妳的理論就有必要額外引介一個非真值函數式的條件句連接詞，並說明其語意論與相關的邏輯原則為何。為了簡單起見，在4.2.1的討論中，我們將不說明這種複雜的條件句語意論，而將「如果…則」當作是一個真值函數式的連接詞。在4.2.2的討論中，「而且」、「或者」和「如果…則」則都會被當作是非真值函數式的連接詞。
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網路相關資源
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https://en.wikipedia.org/wiki/Sorites_paradox
https://baike.baidu.com/item/%E8%BF%9E%E9%94%81%E6%82%96%E8%AE%BA/13205571?fr=aladdin
